Bogenlänge einer Schraubenlinie

Question

Hallo.

Ein paar Infos zur Aufgabe:
Seien a, b, c, r ∈ R mit a < b und r > 0. Berechnen Sie die Bogenlänge der Schraubenlinie

Ich habe mal versucht die Bogenlänge einer Schraubenlinie zu berechnen:
$$f(t)\quad =\quad \left( \begin{matrix} r*cos(t) \\ r*sin(t) \\ c*t \end{matrix} \right) \quad <--\quad Funktion\quad Schraubenlinie\\ f'(t)\quad =\quad \left( \begin{matrix} r*(-sin(t)) \\ r*cos(t) \\ c \end{matrix} \right) \\ |f'(t)|\quad =\quad \sqrt { { r }^{ 2 }*({ -sin }^{ 2 }(t)\quad +\quad { cos }^{ 2 }(t))*{ c }^{ 2 } } \\ |f'(t)|\quad =\quad \sqrt { { r }^{ 2 }*{ c }^{ 2 } } $$

Doch wie geht es nun weiter?
Im Internet habe ich Rechnungen mit einem Integral gesehen, doch wieso dies so war, verstand ich nicht.
Nach meinem wissen ist doch die Länge eines Vektors = |v|.

Comments

Auch hier im Forum wurde so gerechnet. Doch wieso verwendet man denn hier das Integral?

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Ich habe mal mit dem Integral gerechnet und bin zum Schluss auf Gemeinsamkeiten gestoßen:
$$\int _{ a }^{ b }{ f'(t)dt } $$ müsste dann in die richtige Richtung gehen.

Also käme dann bei mir raus:
$$\int _{ a }^{ b }{ \sqrt { { r }^{ 2 }+{ c }^{ 2 } } dt } $$

Doch kann mir wer noch einmal erklären warum man in diesem Fall das Integral verwenden muss?

Answer 1

Hi,

die (Bogen)länge einer (stückweise stetig differenzierbarer) Kurve \( \gamma(t) \) im Intervall \([a,b] \) kann man mit dem Integral über die Länge des Tangentialvektors berechnen:

$$ L_{[a,b]}(\gamma) = \int \limits_a^b |\gamma ' (t) | dt $$

Der Tangentialvektor zeigt dir immer an in welche Richtung die Kurve momentan verläuft. 

Gruß