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Zeigen sie ,dass für a>0 b>0 die Ungleichung gilt:

a^2<= (2ab/(a+b) )^2 <= a*b


hallo meine frage wäre ich das lösen kann


Mfg

von

Die Ungleichungskette gilt nur in diese Richtung, wenn \( a \leq b \) gilt.

Wie löse ich die aufgabe jetzt??

Wie muss ich da vorgehen??

Die Aufgabe kannst du einfach durch umformen lösen. Es sollte klar sein, dass wegen den Voraussetzungen \( a^2 \leq ab \) gilt

Kannst du mir vielleicht zeigen wie ich da anfangen soll..

Weis leider echt nett wie man da am besten vorgeht..

Du solltest eine Ungleichung nach der anderen aufschreiben. Schreib zum Beispiel die erste auf:
$$ a^2 \leq \left( \frac{2ab}{a+b} \right)^2 $$
Jetzt formst du solange um bis du eine Ungleichung hast die offensichtlich wahr ist. Da es nur wenige Schritte erfordert werde ich dir nicht mehr Hinweise geben.

"Die Ungleichungskette gilt nur in diese Richtung, wenn ab gilt."

Nööö ....

siehe meine Antwort

pleindespoir: Warum bist du so sicher?

Bild Mathematik

Weil du dir die Voraussetzungen nochmal durchlesen solltest.

1 Antwort

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$$ a^2\le \left(\frac{2ab}{a+b}\right)^2 \le a\cdot b  $$
würde ich zunächst mal trennen:$$$$
I:$$ a^2\le \left(\frac{2ab}{a+b}\right)^2   $$
und $$$$II:$$ \left(\frac{2ab}{a+b}\right)^2 \le a\cdot b  $$
Dann eben fertig ausarbeiten:$$$$
I:$$ a^2\le \left(\frac{2ab}{a+b}\right)^2   $$
 gleich loswurzeln ( geht, weil Wurzelfunktion streng monoton steigend ist, aber aufpassen !!! Quadratwurzel liefert ZWEI Egebnisse ): $$$$
Ia:$$ - a\le \frac{\left(2ab\right)}{\left(a+b\right)}   $$
I b:$$ a\le \frac{\left(2ab\right)}{\left(a+b\right)}   $$

Ib:$$ a \cdot \left(a+b\right) \le \left(2ab\right)   $$
Ib:$$  a+b \le 2b   $$
Ib:$$  a+b \le b + b  $$
Ib:$$  a \le b   $$
Die gleiche Prozedur mit Ia ergibt als zusätzliche Lösung:$$$$
Ia:$$  a \ge b   $$
Die Relation gilt also, wenn a grösser oder kleiner oder gleich b ist.
$$$$
So - und die andere Hälfte machst du nun selbst ...

von

"Die Relation gilt wenn a größer als b ist"

Falsch. Dein Kommentar oben also eher ein Eigentor.

Stimmt - ich habe geschlampt !

Bei der Variante Ia passiert folgendes:

Ia:$$ - a\le \frac{\left(2ab\right)}{\left(a+b\right)}   $$
Ia:$$ - a \cdot \left(a+b\right)\le 2ab  $$
Ia:$$ -  \left(a+b\right)\le 2b  $$
Ia:$$ - a-b\le 2b  $$
Ia:$$ - a\le 3b  $$
Ia:$$  a\ge 3b  $$

Ich bitte um gefällige Überprüfung meiner Annahme

Im letzten Schritt fehlt ein negatives Vorzeichen vor dem 3b. Negative Wurzeln spielen in dieser Aufgabe übrigens überhaupt keine Rolle.

Danke für den Hinweis - Korrektur:

Ia:$$  a\ge -3b  $$

ich bin heut wieder so unkonzentriert ... tststs

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