Gegeben ist die Funktionsschar fa(x) = (x + a)*e^-x.

Question

f) Untersuchen Sie, ob die Fläche, die sich zwischen der x-Achse und dem Graphen von f2 ( f2(x) = (x+2)*e^-x ) nach rechts ins Unendliche ausdehnt, einen endlichen Inhalt hat, und geben Sie diesen gegebenenfalls an.

g) Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente von fa. Diese begrenzt im ersten Quadranten mit dem Koordinatenachsen eine Dreiecksfläche. Für welchen Wert von a ist der Inhalt der Dreiecksfläche maximal.

Ich wäre Ihnen SEHR dankbar für die Ergebnisse und den Rechenweg !!

Comments

-> e^2

"

Ich wäre Ihnen .. "

-> du hast vergessen, deine eigenen Überlegungen zu notieren

also: wie weit bist du gekommen ?

-> ....

.

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Die Stammfunktion ist schon einmal - e^-x * ( x + 3 )

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Das ist es ja, ich habe es versucht, aber nicht hinbekommen. Deswegen frage ich hier auch.

Wo ist das Problem wenn ich höfflich mit "Ihnen" schreibe?

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Die habe ich auch, aber ich weiß nicht wie ich das mit dem "unendlich" rechnen soll. Ich muss ja von -2 bis +"unendlich" integrieren. Nur bekomme ich gerade DAS nicht hin.

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.

"

Das ist es ja, ich habe es versucht, "

-> genau das solltest du notieren:

was hast du versucht? .. dann kann man dir sagen

ob du gut angefangen hast ..

und man sieht dann besser  wo und wie zu helfen ist..

nebenbei: die Höflichkeitsform stört überhaupt nicht

aber das "wäre" ...

.

Answer 1

Der Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse ist x = -2

lim a −> ∞ [ - e^-x * ( x + 3 )  ] _-2^a
lim a −> ∞ [ - e^-a * ( a + 3 ) - ( - e² * ( -2 + 3 )) ]
lim a −> ∞ [ 0 * ( a + 3 ) - ( -e² ) ]
e²

Comments

@hh204
Wenn du höflich " Ihnen " schreibst ist das ok.
Hier im Forum wird üblicherweise das " du " verwendet.

Sollte dir meine Antwort nicht ausreichen kann ich auch
etwas ausführlicheres einstellen.

Ansonsten frag einfach.

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f (x) = (x+2)*e^-x
f ´( x ) = 1 * e^-x + ( x + 2 ) * e^-x * -1
f ´( x ) = e^-x * ( 1 - x -2 )
f ´( x ) = e^-x * (- x -1 )
f ´´( x ) = e^-x * (-1) * ( -x -1 ) + e^-x *(-1)
f ´´( x ) = e^-x * ( x + 1 - 1 )
f ´´( x ) = e^-x * x

Wendepunkt
e^-x * x = 0
x = 0
f ( 0 ) = ( 0 + 2) * e^-0 = 2
W ( 0  | 2 )
Steigung im Wendepunkt
f ´( 0 ) = e^-0 * ( -0 - 1 ) = -1
Wendetangente
y = m * x + b
2 = -1 * 0 + b
b = 2
y = (-1) * x + 2

Graphische Überprüfung
Plotlux öffnen

f₁(x) = (x+2)/e^x f₂(x) = (-1)·x+2

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Die Lösung ist super, nur leider brauche in die Wendetangente(en) von fa und nicht nur von f2.. Wenn du mir nochmal das aufschreiben könntest, würde mir das helfen, da ich auf ein Ergebnis komme, was ich nicht weiter vereinfachen kann.

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Ich stehe mit dem Plotter etwas auf Kriegsfuß.
Aber die Grafiken stimmen so.

Unglücklichsterweise habe ich die Berechnungen für den Fall
a = 2 gemacht und nicht allgemein.

Deshalb nocheinmal

f (x) = (x+a)*e^-x
f ´( x ) = 1 * e^-x + ( x + a ) * e^-x * (-1 )
f ´( x ) = e^-x * ( 1 - x -a )

f ´´( x ) = e^-x * (-1) * ( 1 - x - a ) + e^-x *(-1)
f ´´( x ) = e^-x * ( x + a - 2  )

Wendepunkt
e^-x * ( x + a - 2  )
x + a - 2 = 0
x = 2 - a
f ( 2 - a ) = ( 2 - a + a ) * e^2+a
f ( 2 - a ) = 2 * e^2-a
W ( 2 - a  | 2 * e^2-a )

Steigung im Wendepunkt
f ´( 2 - a ) = e^(-(2-a)) * ( 1-  2-a) - a ) =
f ´( 2 - a ) = - e^a-2

Wendetangente
y = m * x + b
2 * e^2-a  =  - e^a-2 * ( 2- a )+ b
b = 2 * e^2-a  + e^a-2 * ( 2- a )
b = e^2-a  * (  2 + 2 - a )
b = e^2-a  * ( 4 - a  )
y =  - e^a-2  * x + e^2-a  * ( 4 - a  )

Siehe Skizze
Schnittpunkt mit der x-Achse
e^a-2  * x + e^2-a  * ( 4 - a  ) =0
e^a-2  * x = - e^2-a  * ( 4 - a  )

So. Ich muß jetzt erst einmal Schluß machen.
Ich hoffe ich konnte dir schon weiterhelfen.

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Korrektur
Wendepunkt
e^-x * ( x + a - 2  )
x + a - 2 = 0
x = 2 - a
f ( 2 - a ) = ( 2 - a + a ) * e^(a-2)
f ( 2 - a ) = 2 * e^a-2
W ( 2 - a  | 2 * e^a-2 )

Steigung im Wendepunkt
f ´( 2 - a ) = e^(-(2-a)) * ( 1-  (2-a) - a ) =
f ´( 2 - a ) = - e^a-2

Wendetangente
y = m * x + b
2 * e^a-2  =  - e^a-2 * ( 2- a )+ b
b = 2 * e^a-2  + e^a-2 * ( 2- a )
b = e^a-2  * (  2 + 2 - a )
b = e^a-2  * ( 4 - a  )
y =  - e^a-2  * x + e^a-2  * ( 4 - a  )

Siehe Skizze
Schnittpunkt mit der x-Achse
-e^a-2  * x + e^a-2  * ( 4 - a  ) =0
-e^a-2  * x = - e^a-2  * ( 4 - a  )
x = 4 - a

Dreieck
F = ( x * b ) / 2
F ( a ) = [ ( 4 - a ) * e^a-2  * ( 4 - a  ) ] / 2
F ´ ( a ) = e^a-2  * ( a² - 6 + 8 ) / 2
Extremwert
a² - 6 + 8 = 0
a = 2  ( maximum )
a = 4

War das ein Wirrwar.
Alle Angaben ohne Gewähr.

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Das hilft mir auf jeden Fall. Ein RIESEN Dankeschön an dich, dass du dir die Zeit und Lust dafür genommen hast. Ich muss nämlich diese Hausaufgabe abgeben und sie wird benotet. Wie gesagt, ich habe es auch schon selber versucht, nur immer wieder Fehler gemacht, weshalb ich den "richtigen" Lösungsweg mal sehen wollte, um zu überprüfen, was ich falsch gemacht habe.