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Wir definieren f:R^2→R durch f(x) = min{x1,x2}.

a)

Beweisen Sie, dass f im Punkt (1 0) partiell differenzierbar ist und berechnen Sie die partiellen Ableitungen im Punkt (1 0).

b)
Beweisen Sie, dass f im Punkt (1 1) nicht partiell differenzierbar ist


Ich weiß leider nicht weiter :(


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aus Duplikat:

"Partielle Differenzierbarkeit in einem Punkt überprüfen"

ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter. Und zwar habe ich eine Funktion f:ℝ→ ℝ gegeben durch $$ f\left( x \right) =min({ x }_{ 1 }, { x }_{ 2 }) $$

Nun soll ich zeigen, dass die Funktion in (1,0) differenzierbar ist und dazu die partiellen Ableitungen bilden. Dazu habe ich an die Definition des Grenzwertes gedacht:

$$\frac { \partial f(x) }{ \partial { x }_{ 1 } } =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f({ x }_{ 1 }+h,{ \quad x }_{ 2 })\quad -\quad f({ x }_{ 1 },\quad { x }_{ 2 } )}{ h } = } \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { min\left\{ { x }_{ 1 }+h,{ \quad x }_{ 2 } \right\} \quad -\quad min\left\{ { x }_{ 1 },{ \quad x }_{ 2 } \right\}  }{ h } = } \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { min\left\{ { 1 }+h,{ \quad 0 } \right\} \quad -\quad min\left\{ { 1 },{ \quad 0 } \right\}  }{ h }  } =  \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { 0\quad -\quad 0 }{ h }  } = \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { 0 }{ h }  }  $$

Da gleiche mache ich dann mit der partiellen Ableitung nach x2 :

$$\frac { \partial f(x) }{ \partial { x }_{ 1 } } =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f({ x }_{ 1 },{ \quad x }_{ 2 }+h)\quad -\quad f({ x }_{ 1 },\quad { x }_{ 2 }) }{ h } = } \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { min\left\{ { 1 },{ \quad 0 }+h \right\} \quad -\quad min\left\{ { 1 },{ \quad 0 } \right\}  }{ h }  } =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { 0\quad -\quad 0 }{ h }  } =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { 0 }{ h }  } $$

Jetzt ergeben beide partiellen Ableitungen den selben Grenzwert, was zeigen soll, dass eine partielle Ableitung in (1,0) existiert. Aber irgendwie sieht das nicht richtig aus.

In einer weiteren Aufgabe solle ich dann zeigen, dass f(x) in (1,1) nicht partiell differenzierbar ist. Die sollte doch nach dem selben Prinzip verlaufen oder sehe ich das falsch?

von

1 Antwort

+2 Daumen

es ist: \(\min(x_1,x_2) = \frac{1}{2} (x_1 + x_2-|x_1-x_2|) \).

Zeige in a) dass die jeweiligen partiellen Ableitungen existieren, falls \(x \neq y\).

Verwende für b), dass die Betragsfunktion \(f(x) = |x| \) in \(x=0\) nicht differenzierbar ist.

Gruß

von 23 k

Ist das Minimum so definiert oder muss man das erst herleiten? :)

Man kann das Minimum für 2 reelle Zahlen mittels dieser expliziten Formel definieren, aber die eigentliche Definition ist und sollte auch allgemeiner sein. In diesem Fall ist sie jedoch sehr nützlich. Wenn man die Formel aber nicht kennt ist die Herleitung dennoch nicht wirklich schwierig.

Ich habe bei df/dx1 = 0 und bei df/d2 = 1. Ist das richtig? Denn intuitiv würde ich sagen im Punkt (1, 0) sind beide Ableitungen 0. 0 ist abgeleitet 0 und 1 ist abgeleitet 0. Kann da wer noch was zu sagen?

Die Ableitungen sind schon richtig, verlass dich lieber nicht auf deine Intuition.

Zeige in a) dass die jeweiligen partiellen Ableitungen existieren, falls x≠y.


Meinst du falls x1 ≠ x2 ?

Genau, danke für den Hinweis Lu.

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