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ich möchte folgende Gleichung mit vollständiger Induktion beweisen. Wer weiß wie's geht?

nn/2 ≤ n! 

Zusatz: Wie beweise ich zusätzlich noch diesen Teil:

n! ≤ nn

von

Vollständige Induktion:
Ist A(n) für jedes n ∈ ℕ eine Aussage über die natürliche Zahl n und sind die beiden folgenden Aussagen richtig:
1) Die Aussage gilt für 1. (Induktionsanfang) --> A(1)
2) Gilt die Aussage für k, so auch für k+1. (Induktionsschluss) A(k) ⇒ A(k+1)
Dann gilt die Aussage A(n) für jede natürliche Zahl n ∈ ℕ.

Bin allerdings noch nicht auf eine Lösung gekommen.

Der zweite Teil ist einfach mal beide Seiten als Produkt ausschreiben und die einzelnen Faktoren anstarren, da sollte einem etwas auffallen.

Aber die Induktion ist interessant...

1 Antwort

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Also ich habe jetzt mal eine Lösung, allerdings finde ich sie nicht so schön.

Der Induktionsanfang ist ja klar.

Der Trick im Induktionsschritt ist dabei, dass ((n+1)/n)n=(1+1/n)n→e konvergiert, und zwar von unten, das heißt (1+1/n)n<e für alle n.

 

von

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