Isomorphismus Z/nZ x Z/nZ

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Hallo Leute,

ich rechne gerade eine alte Klausur durch und bin über folgende Aufgabe gestolpert:

Für welche Werte von N∪{0} gilt Z/n2 Z ≅ Z/nZ x Z/nZ, wobei Z/0Z = Z?

Wäre echt super, wenn mir das jemand erklären könnte ;)

Gefragt 9 Mai 2015 von Gast

Hast du schon in deine Unterlagen geschaut, da habt ihr doch bestimmt mal sowas gemacht wie:

Wann ist (Z/nZ) isomorph zu (Z/mZ)x(Z/pZ)? Wenn du das nachvollziehen kannst, sollte die Beantwortung der Frage relativ schnell gehen :).

Wir haben bei uns im Skript stehen:
Es seien n,m ∈ℕ teilerfremd. Dann ist die Gruppe Z/mZ x Z/nZ isomorph zu Z/nmZ.

Aber n ist ja nicht teilerfremd zu sich selbst.....

Genau darauf wollte ich abzielen. Übrigens gilt hier eine genau dann wenn Beziehung. Was heißt das also nun für die Aufgabe?

Tut mir echt leid, ich  weiß einfach nicht, was ich machen soll.

Teilerfremd heißt ja: ggT(n,m) = 1.
Aber der ggT(n,n) = n..... Gilt das dann nur für n = 1 ?

Mit ist klar, dass ich 2 Richtungen zeigen muss:

Sei n ∈ ℕυ{0} fest. Zu zeigen: Z/n2Z ≅ Z/nZ x Z/nZ
Und danach nochmal die umgekehrte Richtung:
Es gelte: Z/n2Z ≅ Z/nZ x Z/nZ. FInde n....

Ja die einzigen Fälle die du prüfen musst sind n=1 und n=0, da sonst ggt(n,n)=n≥2 gilt. Für n=1 haben ja wir nen trivialen Fall. Was ist aber nun wenn n=0 ist.

Ist \(\mathbb{Z} \simeq \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \) ?

Nein, das gilt nicht.

Sei z.B. f(x) = (x,1).

Denn Z -> ZxZ ist dann schon nicht surjektiv:
Sei f(n) ∈ ZxZ beliebig und gelte f(n) = f(m). Dann git (m,1) = (n,1) und somit m=n. Widerspruch

Kann man das so machen?

Hmm, also damit \(\phi: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}^2 \) ein Isomorphismus wäre., müsste gelten

\( \phi(1) = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \).

Aus den Homomorphismus-Eigenschaften lässt sich dann aber herleiten, dass

\( \phi(m) = \begin{pmatrix} m \\ m \end{pmatrix} \).

gelten muss und diese Abbildung ist ja keine Bijektion was du bestimmt selbst nachvollziehen kannst.

Danke für deine Hilfe :D

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