Quadrate im Quadrat - Auf den Seiten werden immer die gleichen Strecken...

Question

Hey ihr, kann mir jemand diese Aufgabe erklären?

Quadrate im Quadrat

Auf den Seiten eines gegebenen Quadrates \( (\mathrm{k}=5 \mathrm{cm}) \) werden immer dieselben Strecken \( x \) abgetragen, wenn man das Quadrat gegen den Uhrzeigersinn durchläuft. Auf diese Weise werden einem Quadrat andere Quadrate einbeschrieben.

Welches dieser Quadrate hat den kleinsten Flächeninhalt?

Es gibt unterschiedliche Lösungswege. Vergleicht eure Ansätze.

(A) Ermittle die Seitenlänge des inneren Quadrates in Abhängigkeit von x...

B) Wenn das Quadrat minimalen flächeninhalt hat, müssen die Dreiecke maximalen Flächeninhalt haben...

Wie sieht die Lösung für ein Ausgangsquadrat mit beliebiger Seitenlänge k aus?

 

Answer 1

A = x^2 + (k - x)^2 

A = 2·x^2 - 2·k·x + k^2

A = 2·(x^2 - k·x) + k^2

A = 2·(x^2 - k·x + k^2/4 - k^2/4) + k^2

A = 2·(x^2 - k·x + k^2/4) + k^2 - k^2/2

A = 2·(x - k/2)^2 + k^2/2

für x = k/2 ist die Fläche minimal.

Comments

Sicher? \(\)

---

Nein. Hatte ein /2 vergessen. Hab es aber angefügt.

---

Danke - ist es jetzt richtig?

---

Ich glaube da stimmt was nicht in Deiner Rechnung. Das innere Quadrat wir minimal für \( x = \frac{k}{2} \)

---

"Danke - ist es jetzt richtig?"

Wo siehst du noch einen Fehler ?

Answer 2

Hi, die Fläche des inneren Quadrats berechnet sich nach Pythagoras zu
$$ A(x) = x^2 + (k-x)^2 $$
Die erste Ableitung ist
$$ \frac{d}{dx}A(x) = 2x - 2(k-x) $$
Diese Ableitung wird \( 0 \) für \( x = \frac{k}{2} \)
Die zweite Ableitung ist \( \ge 0 \) also wird der Flächeninhalt für das  innere Quadrat für \( x = \frac{k}{2} \) minimal.

Answer 3

Ich habe mich gefragt : was hat der Mathecoach bei seiner
Lösung eigentlich gemacht ?

Nach reiflichsten Überlegungen bin ich dann auf folgende Erklärungen
gekommen, die vielleicht für den Fragesteller auch von Interesse sind

- es wurde eine Lösungsmöglichkeit ohne Differntialrechnung präsentiert.

- aus dem Aufstellen der ersten Gleichung ergibt sich das die Flächenfunktion
eine Parabel ist

- es ist also nur der Scheitelpunkt der Parabel zu suchen

- hierzu wurde die Methode der Überführung von der Normalform in die
Scheitelpunktform gewählt

- der Scheitelpunkt ergibt sich zu ( k/2  | k^2 / 2 )

- der Scheitelpunkt ist entweder ein Minimum oder ein Maximum

- da bei x = 0 das innere Quadrat gleich dem äußeren Quadrat ist
ist dann der Flächeninhalt maximal. Der Scheitelpunkt ist also ein Minimum.

- das Quadrat soll für k = 5 berechnet werden. Also x = 2.5.

- zu (A)  :
c^2 = x^2 + ( k - x )^2
c ( x ) = √ ( x^2 + ( k - x )^2 )

- zu (B) :
( Fläche äußeres Quadrat ) - ( Fläche inneres Quadrat )
= Restfläche = 4 * ( Dreiecksfläche )
Wenn die Fläche des inneren Quadrats minimal ist ist die
Fläche der Dreiecke am größten.

Answer 4

Es gibt auch einen einfachen und anschaulichen geometrischen Beweis:

Dazu werden durch die Eckpunkte des gelben Quadrats vier zu den Seiten des großen Quadrats parallele Hilfslinien in das gelbe Quadrat eingezeichnet. Dieses zerfällt auf diese Weise in vier Randdreiecke und ein Quadrat in der Mitte.

Da die Randdreiecke kongruent zu den weißen Dreiecken sind, ist das gelbe Quadrat immer mindestens so groß wie das halbe große Quadrat. Nur wenn die Eckpunkte des gelben seitenmittig im großen Dreieck liegen, verschwindet das Quadrat in der Mitte und die gelbe Fläche erreicht mit der Hälfte der Fläche des großen Quadrats ihren kleinsten Wert.