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Untersuchen Sie, an welchen Stellen die Funktion f :R → R mit 

f(x) = x ( falls x e Q) // (1-x) ( x e R\Q)

auf stetigkeit und unstetigkeit.


Könnt ihr mir vielleicht weiter helfen und zeigen wie ich so eine aufgabe lösen kann.

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Hast du irgendwelche Vermutungen, wo die Funktion stetig sein könnte?

1 Antwort

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Ne.. Aber eine vermutung wo die unstetig sein könnte an der stelle x= 0 wegen den rationalen zahlen.. Sonst weis ich es leider gesagt nicht
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Kannst du diese Antwort noch in einen Kommentar umwandeln? Eine Antwort auf deine Frage ist das ja nun wirklich nicht. ;-)

In jeder Umgebung einer rationalen Zahl liegt eine irrationale Zahl (und umgekehrt). Wenn die Funktion an einer Stelle \(x_0\) stetig ist, dann müssen sich \(x\) und \(1-x\) in der Nähe von \(x_0\) "ähnlich" verhalten, d.h. sie müssen "nah aneinander" liegen. Für welche(n) Wert(e) von \(x_0\) ist das möglich?

Dann müssten die werte ja 0 und 1 sein... für x = 0 und für 1-1 = 0.. oder =?

Du musst schon in beide "Teile" das gleiche \(x_0\) einsetzen. Genauer: Für welches \(x_0\) ist \(x_0=1-x_0\)?

Für 0,5 müsste das doch sein oder?

Genau. Also könnte man vermuten, dass die Funktion an der Stelle \(x=0.5\) stetig ist und sonst unstetig.
Und das musst du jetzt beweisen (z.B. mit dem \(\varepsilon-\delta\)-Kriterium).

Hallo ist zwar jetzt eine weile her , muss aber die aufgabe morgen abgeben und habe folgendes gemacht.

|f(x)-f(x0)| = |(1-x)-(1-0,5)| = |(-x+0,5)|

|x-x0|<DELTA  → |x-0,5|<Delta

|-x+0,5|= |-1|x-0,5|| = -1|x-0,5|

|x-x0|= |x-0,5|<DELTA

|f(x)-f(x0)| = -1|x-0,5|

|x-0,5|<Delta  |f(x)-f(x0)=-1|x-0,5||<-1Delta

Delta=-epsilon


Sei e>0 und delta<-e für alle x e R mit |x-0,5|<delta

f(x)-f(x0)= |(1-x)-(1-0,5)|

= |-x+0,5|

=-1|x-0,5|

< -1delta < (-1)*(-e) = e(epsilon)

→|f(x)-f(0,5)|<e (epsilon)


Ich hoffe das das so richtig ist und wenn nicht das ihr mir sagen könnt wo ich das verbessern soll.

Mfg

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