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benötige Hilfe bei einer Aufgabe:

Aufgabestellung:

Sei Q die Menge in C, definiert durch

Q={z=a+bi e C | a,b e R, b>=a und b>-a}

sowie f:  Q  -->  C die Abbildung

f(z)=z^4 -3i

Skizzieren Sie die Menge Q und stellen Sie die Menge Q in Polarkoordinaten dar. Untersuchen Sie die Abbildung f auf injektivität und surjektivität.

Ich komme schon bei der ersten Aufgabe nicht richtig weiter, hier fehlt mir der Ansatz. Muss ich hier vielleicht f(z)=0 setzten und dann erstmal die vier verschiedenen Lösungen mittels komlexem Wurzelziehen herausfinden?

Danke

von

Wäre die 1. Aufgabe nicht die Zeichnung der Menge und Darstellung mittels Polarkoordinaten? Warum fängst du da nicht an. Mal dir eine komplexe Ebene und zeichne die Begrenzung der Menge Q ein.

Ok hab ich mal gemacht.

Die Menge Q wäre somit oberhalb der x-Achse. Im 1.Quadranten gehört die Linie dazu wegen >= und im 2. Quadranten gehört die Linie nicht dazu wegen >. Ist sozusagen die 1. und 2. Winkelhalbierende und alles dazwischen, d.h. b>= 0 und die Gerade der 1. Winkelhalbierenden gehören zur Menge

Polarkoordinatendarstellung:

z=3(cos(1/2 pi) + isin(1/2 pi))

Betrag |z|=3

arg: Im/|z|=sin=1    --> Winkel: 1/2 pi

Stimmt dies soweit?

Ja die Zeichnung ist an sich korrekt. Die Polardarstellung soll aber ganz Q umfassen. Mit deiner Zeichnung wäre dies dann ja

$$ Q = \left \{ z = re^{i\varphi} \in \mathbb{C} \Big | r \in \mathbb{R}^+, \varphi \in \left [ \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4} \right) \right \} $$

Edit: Siehe Nick's Kommentar unten.

Kann man dies dann auch so aufschreiben?

z=1(cos(pi/2)+isin (pi/2))  Weil der Winkel zwischen den zwei Geraden ist ja pi/2

Und der Winkel bis zur zweiten Winkelhalbierenden ist doch 135° also 3/4 pi und bis zur 1. 1/4 pi

Betrag ist klar, aber wie man auf das Argument kommt versteh ich noch nicht ganz

Hey habs nochmal editiert natürlich sind das pi/4 bis 3pi/4. Wobei pi/4 noch angenommen wird 3pi/4 jedoch nicht, deswegen die offene Klammer rechts. Q sind ja auch alle Punkte zwischen diesen beiden Winkelhalbierenden, und somit nimmt das Argument auch die Werte zwischen pi/4 und 3pi/4 an.

Ok alles klar, gibt es da auch eine alternative Schreibweise für die Polarkoordinatendarstellung? Oder muss man das so wie bei dir oben schreiben?

Also das von mir war natürlich nur ein Vorschlag, gibt natürlich auch andere Möglichkeiten.

Es gilt ja:

$$ re^{i\varphi} =r(\cos(\varphi) + i\sin(\varphi)) $$

Was dir vielleicht lieber ist.

ok also dann wäre doch phi= 1/2 pi oder? also z=1(cos(pi/2)+isin(pi/2))

super vielen vielen Dank soweit

z=1(cos(pi/2)+isin(pi/2)) ist doch einfach nur z=i. Was genau willst du damit zeigen?

Kleine Korrektur:
@Yakyu, du hast oben die Menge \(Q\) in Polarkoordinaten beschrieben; da steht \(r\in\mathbb{R}_0^+\). Richtig wäre \(r\in\mathbb{R}^+\) (wegen \(0\notin Q\)).

Super Danke stimmt natürlich :).

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