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Aufgabe:

Man bestimme alle xR x \in \mathbb{R} , für die die folgenden Potenzreihe konvergieren (d.h. die Potenzreihen sind auch auf den Randpunkten des Konvergenzintervalls zu untersuchen):

(a) n=1(x2)nn2 \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^{n}}{n^{2}}

(b) n=117nn(x+3)3n+1 \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{7^{n} \sqrt{n}}(x+3)^{3 n+1}

(c) n=1n2xn \sum \limits_{n=1}^{\infty} n^{2} x^{n}

(d) n=1xnn \sum \limits_{n=1}^{\infty} x^{n^{n}} .


Ansatz/Problem:

Soll ich einfach für jede Potenzreihe ein Kriterium (Quotienten, Minoranten/Majoranten, Integral) benutzen und sehen ob es konvergiert?

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Du sollst den Konvergenzradius bestimmen und die entsprechenden Randpunkte (falls vorhanden) überprüfen. Dafür gibt es Kriterien, die ihr behandelt habt.

1 Antwort

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Bei a vielleicht Quotientenkriterium

(n+1)2   /   n2   =   ( n2 + 2n + 1 ) /  n2   =   1 + 2/n +  1/n2

hat lim sup gleich 1, also ist 1 der Konvergenzradius.

Also konvergiert die Reihe sicher für x aus ] 1 ; 3 [ denn 2 ist ja der Mittelpunkt des Konvergenzintervalls.

für x=1 ( 1. Randpunkt ) w

hast du die Reihe mit den Reihengliedern

(-1)n / n2

und die konvergiert nach dem Leipniskriterium und für x=3 sind die Glieder 1 / n2

und die konvergiert (glaube ich) gegen pi2 / 6

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