Für welche x ∈ ℝ konvergieren die folgenden Reihen? Σ (2^k x^2k) / ( 1+1/k)^k

Question

Für welche \( x \in \mathbb{R} \) konvergieren die folgenden Reihen?

(a) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{2^{k} x^{2 k}}{\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k}} \)

(b) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{(k !)^{2} \cdot x^{k}}{(2 k) !} \)

Σ (2^k x^2k) / ( 1+1/k)^k

Für welche x gilt hier Konvergenz?

Comments

Zu a) Der Nenner ist beschränkt aber nicht 0. Vgl. Wikipedia unter "Eulersche Zahl" oder Exponentialfunktion.

Answer 1

(2^k x^2k) / ( 1+1/k)^k   =   ( 2^k  / ( 1+1/k)^k   ) *  x^2k   

Wenn du dir die ersten 5 bis 6 Reihenglieder hinschreibst, siehst

du sicher gleich, dass nur Glieder mit geradem Exponenten von x vorkommen

1  x^2   x^4  etc.

Wenn du das Wurzelkriterium anwenden willst, brauchst du aber immer die k-te Wurzel

aus dem Koeffizienten von x^k .   Die Koeffizienten von x^k sind aber

0 für ungerades k

und ( 2^k/2  / ( 1+2/k)^k/2   )   für gerades k

Für den lim sup von  k-te Wurzel aus ak, brauchst du die unendlichen vielen Nullen

nicht zu beachten, denn die anderen Wurzeln sind ja alle größer.

Also ist zu bestimmen der Grenzwert von k-te Wurzel aus ( 2^k/2  / ( 1+2/k)^k/2   )

Die k-te Wurzel ist      2^{0,5} /  (1+2/k)^{0,5} 

Für k gegen unendlich ist der GW   2^{o,5} / 1 also Wurzel aus 2.

Damit ist der Konvergenzradius 1/ √(2)   =  0,5*√(2).

Bei der anderen Reihe sieht es eher nach Quotientenkrit. aus.

Für den Konvergenzradius müssen wir Betrag von  |a_n+1 / a_n|  untersuchen.

[Ach nee, anders herum !!!!!  s.u.]

Betrag spielt keine Rolle, da alles positiv ist.

(k!)^2 / (2k)!   =  k!  /  ((k+1)*(k+2)*....*(2k)) 

Nenner kann man auch als Produkt von i=1 bis k über k+i schreiben.

insgesamt dann das Produkt von i=1 bis k über i/(k+i).

KORREKTUR:  wegen "andersherum" (s.o.) hast du 

Produkt über    (k+i) / i    also über  (1+k/i) und das geht

für k gegen unendlich auch gegen unendlich (glaube ich ???).

Also Konvergenzradius unendlich.