Polynom dritten Grades durch die Punkte A(-1/18) B(0/8) C(2/0) D(3/14) bestimmen

Question

Ich komme bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter.  Die Aufgabe besteht dabei, die Gleichung der Funktion 3. Grades zu bestimmen. Diese Punkte sind vorgegeben: A(-1/18) B(0/8) C(2/0) D(3/14)  :)

Answer 1

Hi,

Du hast die allgemeine Form y=ax^3+bx^2+cx+d

Setze die vier Punkte ein und löse:

 

f(-1)=18
f(0)=8
f(2)=0
f(3)=14

Was folgendes Gleichungssystem ergibt:

-a + b - c + d = 18
d = 8
8a + 4b + 2c + d = 0
27a + 9b + 3c + d = 14

 

Dies gelöst ergibt a=1, b=1, c=-10 und d=8

Unsere gesuchte Funktion lautet demnach: f(x)=x^3+x^2-10x+8

 

Grüße

Answer 2

Hallo

Nach jedem Eliminationsschritt Zeile i -Zeile j des Gauss-Verfahrens koennen die entstehenden Gleichungen durch einen Faktor (xi - xj) geteilt werden.

Dann ergeben sich die Koeffizienten von y = ax^3 +bx^2 +cx +d zu


y1 -y2            y1 -y3                  y1 -y2          y1 -y4
           ---------    -   ---------                 ---------     -   ---------
           x1 -x2           x1 -x3                   x1 -x2          x1 -x4
           -------------------------      -         -------------------------
                     x2 -x3                                  x2 -x4
a =    ---------------------------------------------------------------
                                             x3 -x4


y1 -y2          y1 -y3
         --------    -   --------
         x1 -x2         x1 -x3
b = ---------------------------     - a (x1 +x2 +x3)
                    x2 -x3


y1 -y2
c =     ---------     -b (x1 +x2)   -a (x1^2 +x1x2 +x2^2)
          x1 -x2


d = y1  - c x1   - b x1^2   - a  x1^3


18 - 8            18 -0                  18 -8            18 -14
           ---------    -   ---------                 ---------     -   ---------
           -1 - 0            -1 -2                    -1  -0             -1 -3
           -------------------------      -         -------------------------
                       0 -2                                            0 -3
a =    ---------------------------------------------------------------
                                             2 -3


= 10/(-1*(-2)*-1) -18/(-3*(-2)*(-1)) -10/(-1*(-3)*(-1)) +4/(-4*(-3)*(-1)) = -5 +3 +10/3 -4/12 = 1


18 -8          18 -0
         --------    -   --------
         -1 -0           -1 -2
b = ---------------------------     - a (-1 +0 +2) = 10/(-1*(-2)) -18/(-3*(-2)) -1*(+1) = 5 -3 -1 = 1
                    0 -2


18 -8
c =     ---------     -b (-1 +0)   -a (1 -0 +0) = -10 -1*(-1) -1*1 = -10 +1 -1 = -10
            -1 -0


d = 18  - c *(-1)   - b *1   - a (-1) = 18 +10*(-1) -1*(-1) = 18 -10 -1*1 -1*(-1) = 18 +10 -1 +1 = 8

y = 1 x^3 +1 x^2 -10 x +8