0 Daumen
548 Aufrufe
ist die Zahl n^3-4n (n aus dem Bereich der natürlichen Zahlen) durch 3 teilbar?

Falls ja, soll dies NICHT durch vollständige Induktion  gezeigt werden, falls nicht soll es widerlegt werden.

Wer kann helfen?
von

Hallo

freundlicher Hinweis: Faktorisiere den Term :).

2 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

n3-4n                | n ausklammern

= n(n^2 - 4)      | 3. Binom

=n(n-2)(n+2)

Die 3 Faktoren (n-2), n und (n+2) sind jeweils 2 Einheiten voneinander entfernt. Also 3 aufeinanderfolgende gerade (oder) ungerade Zahlen.

Da jede dritte gerade Zahl die Form 6k=3*(2k) hat, ist sie durch 3 teilbar.

Ausserdem ist auch jede dritte ungerade Zahl durch 3 teilbar. Sie hat dann die Form 6k + 3 = 3(2k+1). 

von 7,6 k
+2 Daumen

Es gilt $$n³-3n=(n-1)n(n+1)-3n  $$, und beide Summanden sind wegen n∈ℕ durch 3 teilbar, daher ist also auch n³-n stets für natürliche n durch drei teilbar.

Alternativ kann man die Behauptung auch durch Modulo-Rechnung zeigen, dann sind nur noch die Fälle n=0mod3, n=1mod3 und n=2mod3 zu prüfen.

Noch schneller geht's aber mit dem kleinen Satz von Fermat (3 ist eine Primzahl), also

n³-4n=n³-n=n-n=0(mod3)

bei dem zweiten Gleichzeichen wurde der kleine Satz von Fermat verwendet (beweisen kann man den zum Beispiel über erzeugende Elemente von Gruppen, falls du dich da etwas auskennen solltest;-))

Anmerkung: streng genommen müsste man hier das Kongruenzzeichen ≡ verwenden, dies habe ich jedoch nicht im Formel-Editor gefunden.

von

nur ein kleiner Schreibfehler: gegeben war n^3 - 4n -> der Rest stimmt aber.

Was bitte soll denn daran stimmen? Die Umformung ist schlicht nicht nachvollziehbar und die Antwort daher Blödsinn!

hyperG hat doch schon auf den Schreibfehler hingewiesen. Was die Nachvollziehbarkeit betrifft, bitte nicht von dir auf andere schließen.

@Antwortgeber: Alternativ hätte man auch die Zerlegung: \(n^3-4n = (n-2)n(n+2) \) wählen können. Den Abschnitt mit dem kleinen Fermat finde ich sehr nice :).

Ok, jetzt sehe ich, was jd195 vermutlich eigentlich schreiben wollte:
$$ n^3-4n = n^3-n-3n = (n-1)n(n+1)-3n $$Das ist natürlich in Ordnung.


Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community