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Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks ABC schneiden sich in einem Punkt. Dieser Punkt teilt jede der Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1.

Beweise:

Sind in einem Dreieck ABC die Punkte D, E, F die Seitenmitten, dann schneiden sich die Seitenhalbierenden der Dreiecke ABC und DEF in demselben Punkt S.


Ich weiß es muss irgendwie über einen Vektorzug funktionieren, einen ähnlichen Beweis sieht man hier: https://www.mathelounge.de/146172/beweis-schwerpunkt-teilt-seitenhalbierenden-verhaltnisBild Mathematik


Kann mir jemand die Lösung zum Nachvollziehen geben?

von

1 Antwort

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Betrachte doch das Dreieck ADS.
Dann gilt die Vektorgleichung
AD + DS + SA = 0   #
und nun versuche alles durch die Vektoren AB = x und AC = y auszudrücken.

Dann ist AD = 0,5x
DS ist ein Teil ( zu zeigen ist ja 1/3 ) von DC, wenn man das mit dem 1/3 nicht weiss, nimmt
man, wie immer, wenn man was nicht weiss, eine Variable, also sagen wir mal  s*DC.
Aber DC ist ja   - 0,5x + y   also
DS = s*( - 0,5x + y  )

Ebenso mit SA, das ist ein Teil EA und EA = -05,x - 0,5y wenn der unbekannte Teil etwa t ist,
heißt das
SA = t*(-0,5x - 0,5y)

Also wird aus #
0,5x  + s*( - 0,5x + y  ) + t*(-0,5x - 0,5y)  = 0
jetzt sortierst du alles in Terme mit x und y und klammerst dann aus
0,5x   - 0,5sx + sy   -0,5tx - 0,5ty = 0
(0,5 - 0,5s -o,5t)*x  + ( s -o,5t)*y = 0
Da die Vektoren x und y lin. unabh. sind, müssen beide Klammern 0 sein
0,5 - 0,5s -o,5t=0   und  s -o,5t=0    einsetzen  von s= 0,5t gibt
0,5 - 0,25t -o,5t=0
0,5 = 0,75t
t=2/3   und  dann   s= 1/3
Die "unbekannten" Teile sind also 2/3 und 1/3 wie zu beweisen war.
von 152 k

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