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Aufgabe:

Gegeben seien die beiden Abbildungen L1,L2 L_{1}, L_{2} :

L1 : R4[x]R2,2;ax4+bx3+cx2+dx+e(c2d3dd+2c3ab)L2 : R5[x]R2,2;ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f(c+d4bcae+6) \begin{array}{l} L_{1}: \mathbb{R}_{\leq 4}[x] \rightarrow \mathbb{R}^{2,2} ; \quad a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+e \mapsto\left(\begin{array}{cc} c-2 d & 3 d \\ d+2 c & 3 a-b \end{array}\right) \\ L_{2}: \mathbb{R}_{\leq 5}[x] \rightarrow \mathbb{R}^{2,2} ; \quad a x^{5}+b x^{4}+c x^{3}+d x^{2}+e x+f \mapsto\left(\begin{array}{cc} c+d & 4 b-c \\ a & e+6 \end{array}\right) \end{array}

(a) Überprüfen Sie, ob die Abbildungen L1,L2 L_{1}, L_{2} linear sind.

(b) Bestimmen Sie Kern(L1) \operatorname{Kern}\left(L_{1}\right) und seine Dimension.

(c) Bestimmen Sie dim(Bild(L1)) \operatorname{dim}\left(\operatorname{Bild}\left(L_{1}\right)\right) .

(d) Ist L1 L_{1} injektiv/surjektiv/bijektiv?

Hinweis: Zur Lösung von (c) muss das Bild nicht bestimmt werden.


Ansatz/Problem:

Könnte mir jemand bei der b) behilflich sein, denn ich bin mir nicht sicher, ob die Lösung=1 oder =2 beträgt.

Ich hab den Kern(L)={ax4+3ax3(+e??)  | a,(e?) aus R } Mein Problem liegt bei dem Polynom, da ich ja noch das ...+e habe.

Lasse ich das im Kern einfach weg(wodurch die Lösung=1 wäre) oder gehört das noch dazu? Oder lieg ich ganz falsch?

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1 Antwort

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Wieso solltest du das ee weglassen? Wie du schon richtig erkannt hast, wird ax4+3ax3ax^4+3ax^3 für jedes aRa\in\mathbb{R} auf die Nullmatrix abgebildet. Da das Bild aber gar nicht von dem konstanten Glied ee abhängt, wird auch jedes Polynom ax4+3ax3+eax^4+3ax^3+e auf die Nullmatrix abgebildet (mit beliebigem a,eRa,e\in\mathbb{R}).
Der Kern von L1L_1 ist also {ax4+3ax3+e  a,eR}\{ax^4+3ax^3+e\ |\ a,e\in\mathbb{R}\}.

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Wie bestimmt man hier die Dimension des Kerns ?

Bestimme doch mal eine Basis des Kerns, die Anzahl der Elemente der Basis ist dann die Dimension.

(Später, wenn man mehr Erfahrung hat, "sieht" man auch sofort die Dimension).

Super, das wäre dann z.B. B= (x4+3x3, 1)

Also ist dimKern(L)= 2.

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