Beweise zur stetigen Funktionen

Question

Aufgabe:

Zeige, ist \( \mathrm{f}:[\mathrm{a}, \mathrm{b}] \longrightarrow[\mathrm{a}, \mathrm{b}] \) stetig, so gibt es ein \( \mathrm{c} \in[\mathrm{a}, \mathrm{b}] \) mit \( \mathrm{f}(\mathrm{c})=\mathrm{c} \).

Zeige, ist \( \mathrm{f}:[\mathrm{a}, \mathrm{b}] \longrightarrow \mathrm{R} \) stetig und injektiv, so ist \( \mathrm{f} \) streng monoton.

Gilt die Aussage auch noch, wenn \( f \) nicht stetig ist?

Comments

Den ersten Beweis kannst du dir glaube ich mit dem Zwischenwertsatz beweisen.

Und die zweite Aussage beweist man mit einem Widerspruchsbeweis.

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Und ganz zum Schluss könnte man ein Gegenbeispiel bringen

Answer 1

Hi,
zu (1)
betrachte die Funktion \( g(x) = f(x) - x \) dann gilt, \( g(a) = f(a) - a \ge 0 \) und \( g(b) = f(b) - b \le 0  \)
Ist \( g(a) = 0 \) oder \( g(b) = 0 \) hat man schon so ein \( c \) gefunden, nämlich \( c \in  \{a,b\} \)
Ansonsten gilr \( g(a) < 0 < g(b) \) und deshalb gibt es ein \( c \) mit \( g(c) = f(c) - c = 0 \) also \( f(c) = c \)

zu(2)
siehe hier
http://www.google.de/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&ved=0CCcQFjAB&url=http%3A%2F%2Fwww.math.uni-sb.de%2Fag%2Feschmeier%2Flehre%2Fws1314%2Fana1%2Fskript%2FKapitel11.pdf&ei=6OF1VYOSF8OSU8rqg7AH&usg=AFQjCNF6gPlsZL4atq26AsHe5a5fEqCb_Q&bvm=bv.95039771,d.d24&cad=rja