Bestimmen Sie den minimalen Wertebereich, falls f nicht stetig ist. (stetige Funktion)

Question

Aufgabe:

Sei \( f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} \) eine stetige Funktion mit \( f(0)=10, f(1)=0 \). Bestimmen Sie den minimalen Wertebereich von \( f \), d.h. die maximale Menge \( M \subset \mathbb{R} \), so dass \( M \subset\{f(x): x \in[0,1]\} \). Bestimmen Sie den minimalen Wertebereich, falls \( f \) nicht stetig ist.

Answer 1

Was bedeutet das denn, dass die Funktion stetig ist, für den Funktionsgraphen?

Dass er keine Sprünge hat.

Und wenn er keine Sprünge hat, müssen mit zwei y-Werten notwendigerweise auch alle dazwischenliegenden dazugehören. Anschaulich kannst du dir überlegen: du hast die Punkte (0,10) und (1,0). Welche y-Werte sind dann auf jeden Fall dabei, wenn du die beiden Punkte verbindest, ohne den Stift abzusetzen?

Comments

alle von 0-10

minimalr wertebereich wenns nicht stetig wäre, wäre doch dann 10 und 0 oder?

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So ist es. genau das besagt übrigens der Zwischenwertsatz. Und wenn die Funktion nicht mehr stetig sein muss?

10 und 0.

Richtig. Dass die beiden Werte dabei sind, ist vorgegeben, also können es schonmal nicht weniger sein. Und eine Funktion, die etwa in x=0 den Wert 10 und für alle \(x\in (0,10]\) den Wert 0 hat, ist auf [0,1] definiert und nimmt nur diese beiden Werte an.