Ein Trick; ich setze
u := r ² ( 1 )
Die Zielfunktion
V ( h ; u ) := h u = max ( 2a )
mit der Nebenbedingung
G ( h ; u ) := h ² + u = S ² = const ( 2b )
Zum Einsatz kommt das ==> Lagrangeverfahren; alle gebildeten Menschen machen das so. Nichts wird aufgelöst; die Symmetrie zwischen u und h wird nicht zerstört. Für die geplagten Schüler vorteilhaft; Die Ableitungsregeln werden einfacher.
Den ==> Lagrangeparameter von ( 2b ) nenne ich ( - k ) ; das Minuszeichen nur aus Gründen der Konvention. Wir bilden demnach die ===> Linearkombination
H ( h ; u ) := V ( h ; u ) - k G ( h ; u ) ( 3 )
Notwendige Bedingung für Extremum: Den Gradienten von H Null setzen
H_u = h - k = 0 ===> k = h ( 4a )
H_h = u - 2 k h = 0 ( 4b )
Den Dummy k eliminieren wir; wir setzen ( 4a ) in ( 4b ) ein und machen Substitution ( 1 ) rückgängig
r = h sqr ( 2 ) ( 5 )
Ich kenne eure Vorbehalte; ich war ja auch mal jung und dumm. Natürlich verstehen Schüler die Vorteile dieses Verfahrens; eine saubere gliederung; der technische Aspekt tritt völlig in den Hintergrund. Aber sie durchschauen die Legitimation dieses Verfahrens nicht. Deshalb habe ich mir einen pädagogischen Ansatz ausgedacht, den ihr ohne Worte versteht. Ich meine das ===> implizite Differenzieren. Über diesen Umweg könnt ihr euren Lehrer motivieren, Giuseppe Lodovico Spaghetti Carbonara da Torino im Unterricht zuzulassen.
Ihr tut die Ableitung von ( 2a ) nach h Null setzen wegen Extremum. Dabei wird u über die Kettenregel als Funktion von h behandelt:
( dV / dh ) = u + h ( du / dh ) = 0 ( 6a )
In ( 2b ) ist die Ableitung einer Konstanten Null zu setzen:
( dG / dh ) = 2 h + ( du / dh ) = 0 ===> ( du / dh ) = - 2 h ( 6b )
Naa; stimmt's? Hier tu doch mal eine Powerpoint Präsentation vorbereiten. Eine Klarsichtfolie mit dem Höhenlinienprofil von V , unterlegt mit den Linien von G . Du darfst nur auf einer Höhenlinie spazieren G = const . Dabei wirst du fest stellen, dass du die V-Linien kreuzt; manchmal zu wachsendem, manchmal zu abnehmendem Volumen. Notwendige Bedingung für Maximum: V und G haben die selbe Tangente. Das siehst du auch unmittelbar in ( 6ab ) ; die Gleichsetzung erfolgt ja über ( du / dh ) Und wenn " Iso-V-Linie " und Iso-G-Linie die selbe TANGENTE haben, haben sie auch die selbe NORMALE . Das genau ist das zum implizite Differenzieren duale Lagrangeverfahren; versuch doch mal die Bedingung geometrisch zu formulieren, dass G und V die selbe Normale haben.
