Problem:
\( f(z):=\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} z^{n} \) mit \( a_{n}:=\left\{\begin{array}{cl}\frac{1}{2} & \text { für } n=0 \\ -\frac{1}{2^{n+1}} & \text { für } n \geqq 1\end{array}\right. \)
Wie berechne ich mit a_{n}, mit dem ich dann den Radius berechnen kann.
1. Idee:
Summen erstellen.
Einmal \( \sum \limits_{n=0}^{0} \frac{1}{2} z^{n} \) und \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{-1}{2^{n+1}} z^{n} \)
Daraus hätte ich einmal den Radius 1 und einmal den Radius 2.
Aber das scheint mir wenig sinnvoll zu sein.
2. Idee: eine Summe aus den beiden Teilen erstellen. Und jetzt wirds holprig.
Lasse ich eine Gesamte Summe laufen, so muss ich für n=0 1/2 als wert bekommen. ab n=1 gilt dann die Zweite summe. die 2. Summe ergibt für n=0 -1/2
Also müsste ich so etwas in der Art bekommen: \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{-1}{2^{n+1}}+1\left(z^{n}\right) \) Das würde jedoch wieder ab n=1 nicht mehr stimmen denn das sollte eigentlich -1/4 geben. ergibt jetzt aber 3/4.
Wie komme ich auch ein a_{n} mit dem ich eine Summe schreiben kann?
