Radius einer Potenzreihe aus verschieden definierten Folgengliedern. Separat: a0:=1/2

Question

Problem:

$f(z):=\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} z^{n}$ mit $a_{n}:=\left\{\begin{array}{cl}\frac{1}{2} & \text { für } n=0 \\ -\frac{1}{2^{n+1}} & \text { für } n \geqq 1\end{array}\right.$

Wie berechne ich mit a_n, mit dem ich dann den Radius berechnen kann.

1. Idee:

Summen erstellen.

Einmal $\sum \limits_{n=0}^{0} \frac{1}{2} z^{n}$ und $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{-1}{2^{n+1}} z^{n}$

Daraus hätte ich einmal den Radius 1 und einmal den Radius 2.

Aber das scheint mir wenig sinnvoll zu sein.

2. Idee: eine Summe aus den beiden Teilen erstellen. Und jetzt wirds holprig.

Lasse ich eine Gesamte Summe laufen, so muss ich für n=0 1/2 als wert bekommen. ab n=1 gilt dann die Zweite summe. die 2. Summe ergibt für n=0 -1/2

Also müsste ich so etwas in der Art bekommen: $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{-1}{2^{n+1}}+1\left(z^{n}\right)$ Das würde jedoch wieder ab n=1 nicht mehr stimmen denn das sollte eigentlich -1/4 geben. ergibt jetzt aber 3/4.

Wie komme ich auch ein a_n mit dem ich eine Summe schreiben kann?

Answer 1

Hallo Mü.

Hier hast du es nur mit einer Folge zu tun. Nicht mit 2 'Funktionen'.

Deine erste Aufteilung der Summe ist noch gut.

Nun ist aber der erste Summand einfach 1/2 *z⁰ = 1/2*1 = 1/2 ,

wenn man mal ausschliesst dass z=0 ist. 

Für den Konvergenzradius ist somit nur der 2. Summand zu untersuchen. Sobald dort effektiv eine reelle (komplexe) Zahl s rauskommt, hast du dann insgesamt. s_total = 1/2 + s. Also wieder eine reelle (komplexe) Zahl, wie das gewünscht ist.

[Für z=0 könnte man zB. z⁰ =0⁰ = 1 definieren. Aus dem andern Summanden (Summe) ist kein Beitrag mehr zu erwarten (0+0+0+…=0) . Somit f(0) =1/2. Definiert man 0⁰=c anders bekommt man f(0) =c/2. Jedenfalls eine reelle (komplexe) Zahl also konvergent]  

Comments

Hm, okay. soweit so gut.

radius ist in dem fall 1 wegen 1/2 der ersten summe und dem Ergebnis für die 2. Summe (1/2)

wenn ich jetzt noch ein g(z) mit 2 für n=0 habe und 1 für n>=1

fällt die Untersuchung recht kurz aus. 2+1 und daraus der kehrwert ist der Radius.

Richtig?

 

f(z)*g(z) wäre damit dann 1/3 wegen p(f*g)>= min (pf,pg)

---

p(f*g)>= min (pf,pg) 

 

> war ein tippfeheler

 

---

Da hast du mich nicht ganz verstanden. Der erste Teil hat keinen Radius. Konvergiert immer. Entweder gegen 1/2 oder gegen einen anders definierten Wert. Wenn du den Radius 2 rausbekommst, muss du den so stehen lassen.

Ich kann den Fall z=0 noch unten anfügen und oben ausschliessen.

Vergiss wenn möglich deine kombinierte Formel. Damit geht's überhaupt nicht.

---

Achso okay.

genauso behandle ich also auch bn

mit      2 für n=0... Konvergiert gegen 2 oder einen anders def. Wert.

Darf ich für bn 1 für n>=1 genauso  vorgehen, da hier die Summierung von 1 bis oo geht? (Also konvergenz)

 

Weil die Summierung würde ja eig divergieren?.

---

in der 2. Summe kommt ja nur z^1, z^2… vor.

Das Problem mit 'hoch 0' tritt dort gar nicht auf.

---

ja genau, aber dadurch divergiert diese Summe ja.

Das macht mir Probleme den Konvergenzradius zu finden

---

https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius

Warum denn?

Für den Konvergenzradius musst du z doch gar nicht beachten, sondern gemäss https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius den Grenzwert n gegen unendlich | an / an+1| berechnen. (x resp. bei dir z braucht man für den Radius nicht). Dort bekommst du anscheinend 2.

Brauchst du denn noch den Grenzwert? Wenn ja: nimm die Formel für geometrische Reihen für den 2. Teil und addiere am Schluss 1/2 (den ersten Summanden)

---

Ohje das Thema ist nicht meins ^^.

Aber ja, ich hab jetzt verstanden was du meinst. Das von mir war ja totaler Blödsinn.

 

Dankeschön!