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Ist D c R und x0 aus R, so gilt: x0 aus der Menge H der Häufungspunkte genau dann wenn es ein xn aus N gibt in D (nicht x0 ) : lim xn = x0  (n gegen unendlich)

Wie muss ich da vorgehen?

Definition: Menge der Häufungspunkte H einer Menge reeller Zahlen D. Vgl. hier:

https://www.mathelounge.de/25765/haufungspunkt-folge-bestimme-ich-menge-von-haufungspunkten

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Ist D c R und x0 aus R, so gilt: x0 aus der Menge H der Häufungspunkte genau dann wenn es ein xn aus N gibt in D (nicht x0 ) : lim xn = x0  (n gegen unendlich)

Was du hier angibst ist die Definition für Häufungspunkte für eine Menge D von reellen Zahlen.

Es bedeutet: Jedes xo, das du als Grenzwert einer Folge in D, die xo nicht enthält, angeben kannst, ist Häufungspunkt von D. 

Definition von H vgl. auch hier:

https://www.mathelounge.de/25765/haufungspunkt-folge-bestimme-ich-menge-von-haufungspunkten

sowie den dortigen Link und ähnliche Fragen.

Dort steht, dass für jedes Epsilon > 0 ein xEpsilon Element D existiert, das näher als Epsilon bei xo liegt.

'====>'

Wähle nun Epsilon = 1/n und xn in dieser 1/n-Umgebung.
Damit ist (xn)nElementN eine Folge mit lim xn = xo.

qed '===>'

'<====='

Sei (xn)nELEMENTN eine Folge in D mit lim xn = xo, wobei xn≠xo.

Nun ist zu zeigen, dass xo Element H.

Gemäss Definition von Grenzwert existiert für jedes Epsilon > 0 ein n1,

so dass für alle n> n1 |xo - xn|< Epsilon. D.h. Es gibt in jedes Epsilon-umgebung mindestens ein Element aus D, somit ist nach Definition von H xo ein Häufungspunkt von D. 

qed '<===='

Beachte. Ihr benutzt hier eine etwas andere Definition von Häufungspunkt wie sonst üblich.
Üblicher ist, dass die Folgen (-1)^n die beiden Häufungspunkte 1 und -1 hat.
Und das offensichtlich, ohne dass man verbietet, dass xn = xo ist.
Mit dieser 'normalen' Definition könnte jede endliche Menge D c R als Menge ihrer Häufungspunkte bezeichnet werden. Offenbar wollt ihr das nicht. Eure Definition lässt keine isolierten Häufungspunkte zu. 

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