Ist D c R und x0 aus R, so gilt: x0 aus der Menge H der Häufungspunkte genau dann wenn es ein xn aus N gibt in D (nicht x0 ) : lim xn = x0 (n gegen unendlich)
Was du hier angibst ist die Definition für Häufungspunkte für eine Menge D von reellen Zahlen.
Es bedeutet: Jedes xo, das du als Grenzwert einer Folge in D, die xo nicht enthält, angeben kannst, ist Häufungspunkt von D.
Definition von H vgl. auch hier:
https://www.mathelounge.de/25765/haufungspunkt-folge-bestimme-ich-menge-von-haufungspunkten
sowie den dortigen Link und ähnliche Fragen.
Dort steht, dass für jedes Epsilon > 0 ein xEpsilon Element D existiert, das näher als Epsilon bei xo liegt.
'====>'
Wähle nun Epsilon = 1/n und xn in dieser 1/n-Umgebung.
Damit ist (xn)nElementN eine Folge mit lim xn = xo.
qed '===>'
'<====='
Sei (xn)nELEMENTN eine Folge in D mit lim xn = xo, wobei xn≠xo.
Nun ist zu zeigen, dass xo Element H.
Gemäss Definition von Grenzwert existiert für jedes Epsilon > 0 ein n1,
so dass für alle n> n1 |xo - xn|< Epsilon. D.h. Es gibt in jedes Epsilon-umgebung mindestens ein Element aus D, somit ist nach Definition von H xo ein Häufungspunkt von D.
qed '<===='
Beachte. Ihr benutzt hier eine etwas andere Definition von Häufungspunkt wie sonst üblich.
Üblicher ist, dass die Folgen (-1)^n die beiden Häufungspunkte 1 und -1 hat.
Und das offensichtlich, ohne dass man verbietet, dass xn = xo ist.
Mit dieser 'normalen' Definition könnte jede endliche Menge D c R als Menge ihrer Häufungspunkte bezeichnet werden. Offenbar wollt ihr das nicht. Eure Definition lässt keine isolierten Häufungspunkte zu.
