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Wie bestimme ich die Menge der Häufungspunkte von D mit Beweis, wenn ich

D=]a,b] c R mit a<b habe??

ICh weiß, dass Ix-x0I<epsilon sein muss, aber wie zeige ich das?

Präzision gemäss Kommentar

Also ich habe nur die Definition von Häufungspunkten von D

für alle epsilon aus R+ : {x aus R: I x-xo I < epsilon} n D \ {x0 } ≠ ∅ 

Und soll die Menge der Häfungspunkte für das oben genannte Beispiel sowie für

b) D={1/n : n aus N }

c) D= Q c R

zeigen.

von
Hast du irgendeine Folge (Formel) als Beispiel?

Unter Punkt 2 ist eine Folge mit 2 Häufungspunkten erklärt. Leider kann ich dir Fragestellung dort nicht mehr ändern. Die Formel ist in der Antwort richtig geschrieben:

https://www.mathelounge.de/6435/haufungspunkte-abgeschlossen-analysis-probleme-beispielen

Also ich habe nur die Definition von Häufungspunkten von D

für alle epsilon aus R+ : {x aus R: I x-xo I < epsilon} n D \ {x0 } ungleich 0

Und soll die Menge der Häfungspunkte für das oben genannte Beispiel sowie für

b) D={1/n : n aus N }

c) D= Q c R

zeigen.

Ich denke, dass ich was mit Mengengleichheit zeigen muss oder? Also wenn ich eine Teilmengenrelation nehme, muss ich in zwei Richtungen beweisen?

 

Also ich habe nur die Definition von Häufungspunkten von D

xo ist Häufungspunkt von D, wenn:

für alle epsilon aus R+ : {x aus R: I x-xo I < epsilon} n D \ {x0 } ungleich "leere Menge"

Das würde ich jetzt lesen als

" Für alle Epsilon grösser 0 gibt es in D ein reelles x ≠ x0 so dass |x-x0| < Epsilon.

Nun versteh ich wenigstens die Frage. 

1 Antwort

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Antwort hier ist Fortsetzung der Diskussion im Kommentar oben:

Ich denke aber das ist eher eine Verständnisfrage. Du sollst vielleicht nur die Definition verstehen und dann die Menge der Häufungspunkte H dieser Mengen hinschreiben.

a) D=]a,b] c R mit a<b 

--------> H=[a,b]

Eine Eigenschaft von reellen Zahlen ist, dass es in jeder möglichen Epsilonumgebung unendlich viele andere reelle Zahlen gibt. Deshalb für das ganze Intervall.

Am Rand kannst du (a+ 1/n ) annehmen, Epsilon also 1/n setzen und n gegen unendlich gehen lassen.

b) D={1/n : n aus N }

------> H = {0}

0 ist der Grenzwert der Folge (1/n)n Element N . Epsilon kannst du 1/n wählen.

c) D= Q c R

-------> H = R

Die rationalen Zahlen liegen dicht in R. D.h. es gibt in jeder Epsilonumgebung einer reellen Zahl unendlich viele rationale Zahlen. Auch hier kannst du Epsilon = 1/n wählen.

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