Es seien L und N Teilmengen irgendeiner Menge M:

Question

die Aufgabe ist: Es seien L und N Teilmengen irgendeiner Menge M. Zeigen Sie die folgenden Übereinstimmungen der Komplementärmenge:

(L ∩ N)^C = L^C ∪ N^C
Mein "Beweis":
Sei x Element N, dann folgt, dass x Element M und x Element L ist, da L Teilmenge von N und M Teilmenge von N sind. Somit ist x Element L ∩ M (dem Durchschnitt von L und M). Da x Element L ∩ M ist, gilt auch x ∈ L^C und x ∈M^C, da x ∈ N ist. Somit ist x auch ∈ L^C ∩ M^C was der rechten Seite entspricht.
Stimmt mein Beweis? Wenn ja, wie muss ich für die linke Seite fortfahren?

(L ∪ N)^C = L^C ∩ N^C
Hier habe ich leider noch keinen Ansatz.

Wenn ich richtig verstanden habe ist zum Beispiel die Komplementärmenge von B alle x außer aus der Menge B selbst?

Florian T. S.

Comments

Kann keiner weiterhelfen? :-/

Answer 1

Mein "Beweis":
Sei x Element N, dann folgt, dass x Element M und x Element L ist, da L Teilmenge von N und M Teilmenge von N sind. Somit ist x Element L ∩ M (dem Durchschnitt von L und M). Da x Element L ∩ M ist, gilt auch x ∈ L^C und x ∈M^C, da x ∈ N ist. Somit ist x auch ∈ L^C ∩ M^C was der rechten Seite entspricht.
Stimmt mein Beweis? Wenn ja, wie muss ich für die linke Seite fortfahren?

Das stimmt nicht unbedingt, da N und L nicht mal zwingend gemeinsame Elemente haben.

L ist nur Teilmenge von M, nicht unbedingt von N. Weiter ist M keine Teilmenge von N, aber N von M.

Nein, denn wenn $x\in L^C$, dann ist x NICHT in L und somit insbesondere nicht im Schnitt von L und M.

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Dein Ansatz ist schon falsch. Die beiden Gleichheiten, die du zeigen sollst, heißen übrigens DeMorgan'sche Regeln.

Wenn du zeigen willst, dass zwei Mengen $A,B$ gleich sind, d.h. $A=B$, dann tust du dies, in dem du zeigst, dass $A\subseteq B$ und $B \subseteq A$. Um $A\subseteq B$ zu zeigen, nimmst du ein Element $x$ aus $A$ und zeigst, dass dann auch $x\in B$. Für $B\subseteq A$ nimmst du $x\in B$ und zeigst, dass dann auch $x\in A$.

Ich zeige dir das mal bei der zweiten der beiden Aufgaben, die erste kannst du noch mal probieren.

Aussage: Es sei $M$ eine Menge und $L,N\subseteq M$ (L und N sind Teilmengen von M, aber über die Beziehung zwischen L und N ist nichts weiter bekannt). Dann gilt:

$$(L \cup N)^C = L^C \cap N^C$$

Beweis: Zuerst wird \( (L \cup N)^C \subseteq L^C \cap N^C \) gezeigt. Sei $x\in (L \cup N)^C$, d.h. $x\notin L\cup N$. Dies bedeutet per Definition von $L \cup N$, dass $x\notin L$ und $x\notin N$ (überlege dir weshalb das so ist), oder ganz formal: Es gilt $x\notin L \land x\notin N$. Dies ist gleichbedeutend mit $x\in L^C \land x\in N^C$ und somit $x\in L^C \cap N^C$. Damit ist $(L \cup N)^C \subseteq L^C \cap N^C$ gezeigt.

Nun wird $(L \cup N)^C \supseteq L^C \cap N^C$ gezeigt. Sei $x \in L^C \cap N^C$, d.h. es gilt $x\in L^C \land x\in N^C$, per Definition des Komplements wird daraus $x\notin L \land x\notin N$ und dies ist äquivalent zu $\lnot(x\in L \lor x\in N)$ also $x\notin L \cup N$ und dies ist gleichbedeutend mit $x\in (L \cup N)^C$. Beweis fertig.

Comments

Ok den zweiten Beweis kann ich nachvollziehen, danke für deine Mühe LC :-)

Nur: Es seien L und N Teilmengen irgendeiner Menge M; dann ist doch L Teilmenge von M und N Teilmenge von M?

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Ja so ist es richtig, du hattest lediglich M und N vertauscht fällt mir gerade auf.

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Wenn x ∉ L ∪ N dann folgt x ∉ L und x ∉ N.

Meine Überlegung: Da x kein Element der Vereinigung L ∪ N ist, ist x weder in der Menge L noch in der Menge N enthalten.

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Genau :)          

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Super danke dir LC :-) ! Das bildlich vorstellen klappt langsam besser und die zweite Aufgabe habe ich auch schon gelöst :-)

VG Florian