Konvergenzradius bestimmen. Bsp. Reihe zur Folge ((3z-2)/7)^m

Question

Wie kann man bei diesen Reihen die Konvergenzkreise bestimmen? Ich habe auch die Lösung dazu, komme aber nicht auf den Lösungsweg.

Hier die drei Reihen:

\( \sum \limits_{m=2}^{\infty} \frac{1}{7^{m}}(3 t-2)^{m} \Rightarrow S=\frac{7}{3} ? \)
\( \sum \limits_{m=3}^{\infty} \frac{(-1)^{m}}{5 m+1}(z+3-1)^{m} \Rightarrow S=1 ? \)
\( \sum \limits_{m=3}^{\infty} 3^{n}\left(\frac{1}{2} z-1\right)^{n} \Rightarrow S=\frac{2}{3} ? \)

Kann mir jemand den Lösungsweg aufzeigen bitte?

Answer 1

Hi,

 

1. Es gilt 1/r=lim_m->∞^m√|a_m| = ^m√1/7^m = 1/7

Damit ist r=7.

 

D.h. es muss noch der Vorfaktor von z berücksichtigt werden, welcher 3 ist. Somit ist r=7/3.

 

2. Kein Vorfaktor von x. Folglich ist 1/r=lim_m->∞^m√|a_m| = ^m√|(-1)^m/(5m+1)| = 1

Damit auch r=1

 

3. 1/r=lim_n->∞ⁿ√|a_n| = ⁿ√3^n=3

r=1/3

Vorfaktor von z wieder berücksichtigt: r=2/3.

 

 

Grüße

Comments

warum muss man diesen Vorfaktor berücksichtigen. Muss man das immer machen?

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Die Formel generell gilt für ∑a_n(x-x₀)^n

 

Wenn wir aber nun nicht x haben, sondern einen Vorfaktor, muss dieser Berücksichtigt werden. Indem man den Kehrwert nimmt und ihn an den Konvergenzradius ranmultipliziert.