Umkehrfunktion 2x+1+sinx

Question

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Ich verzweifel gerade etwas an der Aufgabe:

Betrachte die Funktion f: R-> R: x->2x+1+sinx

1. Zeige, dass f eine Umkehrfunktion g besitzt

2. Zeige, dass die Umkehrfunktion g differenzierbar ist, und berechne g'(1)und g'(1)

Ich wäre dankbar, wenn mich Jemand bei der Aufgabe unterstützen könnte!

Answer 1

Hi,

1. Die Funktion ist unbeschränkt, stetig und streng monoton steigend. Insbesondere ist sie also bijektiv.

2. Das folgt direkt aus 1) und der Tatsache, dass die Ableitung von \(f'(x) \neq 0 \  \forall x \in \mathbb{R} \).

Es ist \( f(0) = 1 \) und somit

$$ g'(1) = \frac{1}{f'(0)} = \frac{1}{3} $$

Gruß

Comments

Ist g''(1) dann 1/f''(0)?

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Leider nicht :D wär auch zu schön oder? MIt \(y=f(x) \) haben wir ja \( g'(f(x)) = \frac{1}{f'(x)} \).Wenn wir beide Seiten wieder nach \(x\) ableiten gilt nach der Kettenregel:
$$ g''(f(x)) \cdot f'(x) = - \frac{f''(x)}{(f'(x))^2} $$
und somit wäre die zweite Ableitung der Umkehrfunktion:
$$ g''(y) = -\frac{f''(x)}{(f'(x))^3} $$

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Stimmt. Kettenregel erfolgreich verdrängt ;-)

Betrachte ich f wieder bei 0. Oder bei 1.?

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für \(y=1\) ist \(x=0\) :)

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Beziehungsweise.  Ich suche ja die Stelle g'(1)

Heißt ich schaue wann f' =1 ist. Das wäre hier der Fall, wenn cos (x)=0 also für x=1

Oder bin ich grad falsch?

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Nein die Werte für \(y\) und \(x\) haben nichts mit der Ableitung zu tun, sondern nur mit der Funktion an sich!

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Ok dann habe ich f'=2+cosx f''=-sinx

Und damit

g''(1)=- f''(0) / (f'(0))^3 = sin(0) / (2+cos (0))^3 =0

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Es ist vollbracht :).

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Vielen lieben Dank für die Hilfe.  Wünsche Dir noch einen schönen Tag.

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Sehr gerne, wünsche ich dir auch!