Beweis für Bild, Untervektorraum und Kern

Question

Ich muss die folgende Aufgabe bearbeiten:

Es sei f: V → W eine lineare Abbildung von Vektorräumen über einem Körper K. Es seien T bzw. U Untervektorräume von V bzw. W. Beweisen Sie, dass  das Bild f(T) und das Urbild f¹(U) Untervektorräume von W bzw. V sind. Beweisen Sie, dass der Kern bzw. das Bild von f Untervektorräume von V bzw. W sind.

Kann mir bitte jemand bei der Bearbeitung helfen? Ich war leider nicht bei der Übungsstunde und habe keine Ahnung, wie ich das genau beweisen soll/kann :/

Answer 1

dafür musst du verstehen was einen UVR ausmacht und was eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen ist.

Hier mal beispielhaft, dass \(f(T)\) ein UVR von \(W\) ist.

1) \(f(0) = 0\), da \(0 \in T\) ist somit \(0 \in f(T)\).

2) Betrachte \(f(x), f(y) \in f(T)\), also \(x,y \in T\). Da \(T\) UVR ist, ist \(x+y \in T\) und da \(f\) linear ist folgt, dass \(f(x)+f(y) = f(x+y) \in f(T)\).

3) Betrachte \(\alpha \in \mathbb{K}\) und \(f(x) \in f(T)\), also \(x \in T\). Wieder: Da \(T\) ein UVR ist, ist \(\alpha x \in T\) und da \(f\) linear ist folgt, dass \( \alpha f(x) = f(\alpha x) \in T \).

Gruß