Matrizenmultiplikation mit komplexen Zahlen

Question

kann mir bitte jemand bei folgender Aufgabe helfen:

Bestimmen Sie {X ∈ C^2x2| XX^T  = 0}. 

(C=Körper der komplexen Zahlen, X^T = Transponierte Matrix)

Mein Lösungsansatz:

http://up.picr.de/23793316fo.jpg

Anschließend habe ich folgende Gleichungen erhalten:

(I) (a+bi)^2+(c+di)^2=0

(II) (a+bi)*(e+fi)+(c+di)*(g+hi)=0

(III) (a+bi)*(e+fi)+(c+di)*(g+hi)=0

(IV) (e+fi)^2+(g+hi)^2=0

Man sieht jetzt, dass (I)=(II). Allerdings weiß ich nicht,was ich mit (I) und (IV) machen soll und wie ich zeigen kann, dass das alles Null ergibt.

Answer 1

 

X := \(\begin{pmatrix} a&b\\ c&d\end{pmatrix}\)     mit  [#]

X • X^T  = \(\begin{pmatrix} a^2+b^2&ac+bd\\ ac+bd&c^2+d^2\end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} 0&0\\ 0&0\end{pmatrix}\)

ergibt die Gleichungen:

a² + b² = 0  (1)   und c² + d² = 0  (2)    und  ac + bd = 0  (3)

(1) ⇔ a = - i·b  oder  a = i·b

(2) ⇔ c = - i·d  oder  c = i·d

4 Einsetzungen in (3)    [ jede der beiden Möglichkeit von (1) mit jeder von (2) ]

→    (a = - i·b und  c = - i·d)    oder   (a = i·b und c = i·d)   [#]

Gruß Wolfgang

Comments

Danke für die Antwort.

Aber muss ich nicht statt a, b, c, d sofort a+bi, c+di, e+fi, g+hi (a,b,c,d,e,f,g,h ∈ R) wählen, weil X ∈ C ist? Wenn ich das nämlich mache bekomme ich die vier Gleichungen aus meinem Lösungsansatz heraus.

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Es ist aber viel einfacher, a,b,c und d   direkt als  komlexe Zahlen  anzunehmen.

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Könnte man denn meinen Lösungsweg auch beweisen?