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Aufgabe a)

(1) Bestimmen Sie die Nullstellen und die Koordinaten der Extrem- und Wendepunkte der Funktion \( f_{a} \) in Abhängigkeit von \( a \).

(2) Begründen Sie, dass \( T_{e}\left(-\frac{1}{a} |-a^{-2} e^{-1}\right) \) ein globaler Tiefpunkt der Funktion \( f_{a} \) ist.


Aufgabe b)

In Aufgabe a) (1) ergibt sich der Wendepunkt \( W_{a} \left(-\frac{2}{a} |-2 a^{-2} e^{-2}\right) \)

(1) Zeigen Sie: Für die Länge \( l(a) \) der Strecke \( \overline{T_{a} W_{a}} \) gilt \( (l(a))^{2}=\frac{1}{a^{2}}+\frac{k}{a^{4}} \) mit \( k=(e-2)^{2} e^{-4} \)

(2) Untersuchen Sie, ob die Länge \( l(a) \) der Strecke \( \overline{T_{a} W_{a}} \) extremal werden kann.
(Hinweis: Ohne Beweis kann benutzt werden: \( l(a) \) ist genau dann extremal, wenn
\( (l(a))^{2} \) extremal ist.)


Aufgabe c)

(1) Begründen Sie mit Hilfe von Integrationsverfahren, dass die Funktion \( \mathrm{F}_{\mathrm{a}} \) mit der Gleichung \( F_{a}(x)=\frac{1}{a^{2}} e^{a x} \cdot\left(x-\frac{1}{a}\right), x \in \mathbb{R}, \) eine Stammfunktion der Funktion \( f_{a} \) ist.

(2) Der Graph der Funktion \( f_{a} \) schließt mit der \( x \) -Achse im III. Quadranten eine unbegrenzte Fläche ein. Zeigen Sie, dass diese Fläche den Inhalt \( I_{o}=\frac{1}{a^{3}} \) besitzt.

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l^2 = (x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2
= (-1/a + 2/a)^2 + (-a^{-2}e^{-1} + 2a^{-2}e^{-2})^2
= 1/a^2 + (-1/(a^{2}e) + 2/(a^{2}e^{2}))^2
= 1/a^2 + (2/(a^{2}e^{2}) - e/(a^{2}e^2))^2
= 1/a^2 + ((2 - e)/(a^{2}e^{2}))^2
= 1/a^2 + (2 - e)^2/(a^{4}e^{4})
= 1/a^2 + k/a^4

(l^2)' = -2/a^3 - 4k/a^5 = 0
-2a^2 - 4k = 0
a = ± √(-2k)

Da k selber positiv ist ist hier der Term unter der Wurzel negativ. Damit gibt es kein lokales Extrema.

l^2 geht aber gegen unendlich wenn a gegen 0 geht.

Aufgabe c) kann ich nicht machen, da ich momentan keine Funktion f sehe. Kannst du die bitte noch nachliefern?

von 314 k 🚀

fa(x)=(x/a)*eax  , x

Partielle Integration

∫ u' * v = u * v - ∫ u * v'

F(x) = ∫ e^{ax} * x/a = e^{ax}/a * x/a - ∫ e^{ax}/a * 1/a
= e^{ax}/a^2 * x - ∫ e^{ax}/a^2
= e^{ax}/a^2 * x - e^{ax}/a^3
= e^{ax}/a^2 * x - e^{ax}/a^3
= e^{ax}/a^2 * (x - 1/a)

F(0) - F(-∞)
e^{0}/a^2 * (0 - 1/a) - e^{-∞a}/a^2 * (-∞ - 1/a)
-1/a^3 - 0
-1/a^3

Die Fläche ist also 1/a^3. Das Minus zeigt nur an, das sich die Fläche unterhalb der x-Achse befindet.

Die Schreibweise F(0) - F(-∞) sollte so nicht benutzt werden. Besser ist lim x→-∞.

Ich dachte nur so ist es etwas klarer was gemeint ist.

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