0 Daumen
186 Aufrufe

Hallo ich habe folgende Aufgabenstellung(Bild) bei der ich Hilfe benötige .Bild Mathematik

Also für die Richtung ==>
Die erste Teilaussage folgt aus der Definition vom Supremum
Die 2te Hab ich mir überlegt einen Widerspruchsbeweis zu machen ; Angenommen limes xn ungleich zu s. Dann folgt aus der Definition Supremum:limes xn<s . Dann müsste noch zumindest Ein Element der Menge M zwischen dem limes und s liegen.
für <==
1´Teilaussage ist Eigenschaft vom Supremum ( Definition)
2 Teilaussage Ist mir noch nichts eingefallen leider.

Könnte mir jemand helfen bitte ?

von

1 Antwort

+2 Daumen
 
Beste Antwort

Die 2te Hab ich mir überlegt einen Widerspruchsbeweis zu machen ; Angenommen limes xn ungleich zu s.
ABER DAS MUSS JA FÜR ALLE FOLGEN GELTEN ???Dann folgt aus der Definition Supremum:limes xn<s . Dann müsste noch zumindest Ein Element der Menge M zwischen dem limes und s liegen.

Die 2. Aussage war ja: Es gibt eine Folge....   Bei Widerspruch müsstest du zeigen: Für jede

Folge gilt das Gegenteil.

Aber man kann doch eine Folge konstruieren, etwa so:

s=sup(M) heißt doch: Für jedes eps > 0 gibt es in Uε(s) mindestens ein Element von M.

Betrachte für jedes n aus N die Umgebung von s mit Radius 1/n.  In ihr gibt es mindestens

ein m aus M. Nenne eines davon   xn. Dann ist (xn)n∈N   eine Folge von Elementen

von M, die gegen s konvergiert.

Gegenrichtung: Um zu zeigen s = sup(M) muss erst mal das 1. gelten  ...  s≥x.

Das ist ja erfüllt.  Dazu kommen muss nur noch die 2. Eigenschaft eines sup:

Für jedes c < s gibt es ein x aus M mit x>c.      #

Sei also c<s und  xn die in 2 genannte Folge mit lim xn = s

Dann setze eps = s-c ( ist positiv,  da s>c )

Dann gibt es ein k mit n≥k ⇒ | s - xn | < eps    [ Grenzwert def.]

also           s-eps <  xn < s+eps

insbesonder      s-eps <  xn

und wegen  eps = s-c

s - ( s-c ) <  xn

c <     xn
Jedes dieser xn ( die können natürlich auch alle gleich sein.)  ist das in # postulierte x.

q.e.d.


von 152 k
Ok kann ich nachvollziehen!
Ich danke dir Vielmals :)

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...