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Es sei \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) eine \( \mathbb{R} \) -lineare Abbildung mit der Matrix

$$ M_{B}^{B}(f)=\left(\begin{array}{rrr} 0 & 2 & -1 \\ -3 & -2 & 4 \\ -2 & 0 & 2 \end{array}\right) $$

bezüglich der Standardbasis \( B=((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)) \) von \( \mathbb{R}^{3} \) Berechnen Sie die Matrix \( M_{B^{\prime}}^{B^{\prime}}(f) \) für die Basis \( B^{\prime}=((2,1,2),(1,2,2),(2,2,3)) \)

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Wir haben dass $$(2,1,2) = 2\cdot (1,0,0) + 1\cdot (0,1,0) + 2\cdot (0,0,1) \\ (1,2,2) = 1\cdot (1,0,0) + 2\cdot (0,1,0) + 2\cdot (0,0,1) \\ (2,2,3) = 2\cdot (1,0,0) + 2\cdot (0,1,0) + 3\cdot (0,0,1)$$

Daher ist die Darstellungsmatrix der identischen Abbildung die folgende: $$S=M_{B',B}(id)=\begin{pmatrix}2& 1& 2 \\ 1& 2& 2 \\ 2& 2& 3\end{pmatrix}$$

Ausserdem haben wir dass $$(1,0,0) = 2\cdot (2,1,2) + 1\cdot (1,2,2)-2\cdot (2,2,3) \\ (0,1,0) = 1\cdot (2,1,2) + 2\cdot (1,2,2)-2\cdot (2,2,3) \\ (0,0,1) = -2\cdot (2,1,2) -2\cdot (1,2,2)+3\cdot (2,2,3)$$

Daher ist die Darstellungsmatrix der identischen Abbildung die folgende: $$T=M_{B,B'}(id)=\begin{pmatrix}2&1&-2\\ 1&2&-2 \\ -2&-2&3\end{pmatrix}$$


Dann berechnen wir folgendes: $$M_{B',B'}(f)=T\cdot M_{B,B}(f)\cdot S$$

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