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Aufgabe:

Für die Exponentialreihe

\( f(z)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !} z^{n} \)

zeige man, dass für beliebige \( z, w \in \mathbb{C} \) gilt

\( f(z) \cdot f(w)=f(z+w) . \)

Bestimmen Sie ferner \( f(-1) \) bis auf einen Fehler der Ordnung \( 10^{-3} \).

von

Berechnen Sie das Cauchy-Produkt zweier Exponentialreihen, und beweisen Sie so das allgemeine Exponentialgesetz  ez+w = ezew  für alle z, w ∈ ℂ.

1 Antwort

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wende das Cauchy-Produkt von Reihen an.

Es ist \( f(w)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{w^{n}}{n !} \) und \( f(z)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n !} \).

Nach dem binomischen Lehrsatz ist \( f(w) \cdot f(z)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \sum \limits_{k=0}^{n} \frac{w^{n-k}}{(n-k) !} \cdot \frac{z^{k}}{k !}=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !} \cdot \sum \limits_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) \cdot w^{n-k} \cdot z^{k}=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(w+z)^{n}}{n !}=f(w+z) . \)

Für N ≥ 0  gilt die Abschätzung

\( \left|f(-1)-\sum \limits_{n=0}^{N} \frac{(-1)^{n}}{n !}\right| \leq \frac{2}{(N+1) !} \)

Um f(-1)  sicher mit einer Genauigkeit von mindestens 0.001  zu bestimmen, muss demnach N ≥ 6  sein. Für N = 6  erhält man f(-1) ≈ 0.368  und der Fehler ist ca. 0.000176.

von
Warum kann man 1/n! einfach aus der Summer rausziehen? Das darf ich doch normalerweise nur, wenn der Faktor unabhängig von Variablen ist, oder?
Das ist der Fall. Die Laufvariable ist  k. Deswegen kann man  1/n!  ausklammern.
Kannst du nochmal die Bestimmung von f(-1) erkären? Das verstehe ich nicht...

Es ist  f(-1) = ∑n=0 (-1)n/n!. Zur praktischen Berechnung bricht man die Summe nach  N  Summanden ab. Dabei macht man einen Fehler, den man das Restglied  RN+1  nennt, d.h. es gilt  f(-1) = ∑Nn=0 (-1)n/n! + RN+1.
RN+1  gibt also an, wie nahe man dem tatsächlichen Wert für  f(-1)  gekommen ist. Für  RN+1  gibt es (hier) die Restgliedabschätzung  |RN+1| ≤ 2/(N + 1)!. Damit kann man für jedes  N  die Abweichung des berechneten Näherungswertes vom theroretischen nach oben abschätzen.

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