Exponentialfunktionen vergleichen: e^ ((x + y)/2) ≤ (ex + ey)/2

Question

ich soll zeigen, dass ^$${ e }^{ \frac { x+y }{ 2 } }\le \frac { { e }^{ x }+{ e }^{ y } }{ 2 } x,y∈ℝ$$  gilt.

Mein Ansatz war durch umformen einen eindeutigen Ausdruck zubekommen nur mein Letzter logischer Term lautet:

(e^x-e²)*(e^y-e²) = e^x/2+e^y/2

Hat einer eine Idee wie es da weiter geht ? Ich könnte mir auch gut vorstellen, dass man an einer Stelle durch gekonntes Abschätzen weiter kommt ( kann ich leider nicht so besonders gut ).

Hilfe wäre top :b

Comments

Es geht um den Beweis dieses Ausdrucks:

e^ ((x + y)/2) ≤ (e^x + e^y)/2

Answer 1

eigentlich wäre hier Umformung und Binomische Formel angesagt, so dass du am Ende

$$0 \leq (e^\frac{x}{2}-e^\frac{y}{2})^2$$

Da stehen hast.

Gruß

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Irgendwie komme ich da aber nicht ganz hin habs gerade nochmal versucht anders Umzuformen und komme auf :

{ e } ^{\frac { x} { 2 }  }-\frac { { e } ^x }{ 2 } \le \frac { { e } ^y }{ 2 } -{ e } ^{\frac { y} { 2 }  }

wie soll ich daraus denn auf eine Binomische Formel kommen ?

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In dem du die Potenzgesetze verwendest. Multiplizier doch mal die Klammer in meiner Ungleichung aus vielleicht erkennst du dann ja den Zusammenhang.

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Tatsache andersrumm ist das Ganze schon wesentlich einfacher:

0\le { e } ^{\frac { 2x} { 2 }  }-2*{ e } ^{\frac { x} { 2 }  }*{ e } ^{\frac { y} { 2 }  }+{ e } ^{\frac { 2y} { 2 }  }\\ { e } ^{\frac { x+y} { 2 }  }\le \frac { { e } ^{\frac { 2x} { 2 }  }+{ e } ^{\frac { 2y} { 2 }  } }{ 2 }

aber habe ich damit schon gezeigt , dass der Ausdruck gilt für alle x,y∈ℝ ?

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Dein Code wird nicht richtig angezeigt. Setze jeweils $$ vor und hinter den Code und achte auf die Vorschau. Ich find es zu umständlich mir das so durch zu lesen.

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Oh sorry ..

$$0\le { e }^{ \frac { 2x }{ 2 } }-2*{ e }^{ \frac { x }{ 2 } }*{ e }^{ \frac { y }{ 2 } }+{ e }^{ \frac { 2y }{ 2 } }\\ { e }^{ \frac { x+y }{ 2 } }\le \frac { { e }^{ \frac { 2x }{ 2 } }+{ e }^{ \frac { 2y }{ 2 } } }{ 2 }$$

ja ich hatte mich auch schon gewundert dass es dass nur manchmal richtig anzeigt .

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Sieht doch gut aus. Wo ist jetzt das Problem? Das Quadrat einer reellen Zahl ist immer größer-gleich  0...

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ja hatte gerade nen Brett vorm Kopf :D ist natürlich egal ob die in der Klamer was positives oder negatives steht. es ist ja immer größer als 0. Vielen danke für deine Hilfe und Geduld :b

Answer 2

Oder du benutzt die Konvexität der Exponentialfunktion.

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Was ist denn die Konvexität das hab ich noch nie gehört ?

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OK, dann vergiss es wieder und befolge Yakyus Tipp. ;-)

Falls es dich interessiert: https://de.wikipedia.org/wiki/Konvexe_und_konkave_Funktionen

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Alles klar trotzdem danke fürs Gedanken machen ...