DGL 2. Ordnung lösen y'' -2.5y' +y = e^(-3x)

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y'' -2.5y' +y = e^(-3x)


ich komm hier auf eine Lösung von:

y = c1 * e^(2x) + c2 * e^(0,5x)


die richtige lösung sollte jedoch lauten:

y = c1 * e^(2x) + c2 * e^(0,5x) + 0,0571429* e^(-3x)
Gefragt 3 Jun 2013 von elisa

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Wolfram-Alfa liefert eine Schritt für Schritt 

http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27-2.5y%27%2By%3De%5E%28-3x%29

Bei Wolfram-Alpha ist das allerdings schöner dargestellt als hier.

Solve ( d^2 y(x))/( dx^2)+y(x)-2.5 ( dy(x))/( dx) = e^(-3 x):The general solution will be the sum of the complementary solution and particular solution.Find the complementary solution by solving ( d^2 y(x))/( dx^2)-2.5 ( dy(x))/( dx)+y(x)  =  0:Assume a solution will be proportional to e^(lambda x) for some constant lambda.Substitute y(x)  =  e^(lambda x) into the differential equation:( d^2 )/( dx^2)(e^(lambda x))-2.5 ( d)/( dx)(e^(lambda x))+e^(lambda x)  =  0Substitute ( d^2 )/( dx^2)(e^(lambda x))  =  lambda^2 e^(lambda x) and ( d)/( dx)(e^(lambda x))  =  lambda e^(lambda x):1. lambda^2 e^(lambda x)-2.5 lambda e^(lambda x)+1. e^(lambda x)  =  0Factor out e^(lambda x):(1. lambda^2-2.5 lambda+1.) e^(lambda x)  =  0Since e^(x lambda) !=0 for any finite lambda, the zeros must come from the polynomial:1. lambda^2-2.5 lambda+1.  =  0Factor:1. (1. lambda-2.) (1. lambda-0.5)  =  0Solve for lambda:lambda = 0.5 or lambda = 2.The root lambda  =  0.5 gives y_1(x)  =  c_1 e^(0.5 x) as a solution, where c_1 is an arbitrary constant.The root lambda  =  2. gives y_2(x)  =  c_2 e^(2. x) as a solution, where c_2 is an arbitrary constant.The general solution is the sum of the above solutions:y(x)  =  y_1(x)+y_2(x)  =  c_1 e^(0.5 x)+c_2 e^(2. x)Determine the particular solution to ( d^2 y(x))/( dx^2)+y(x)-2.5 ( dy(x))/( dx) = 0.+e^(-3 x) by the method of undetermined coefficients:The particular solution will be the sum of the particular solutions to ( d^2 y(x))/( dx^2)+y(x)-2.5 ( dy(x))/( dx)  =  0. and ( d^2 y(x))/( dx^2)+y(x)-2.5 ( dy(x))/( dx)  =  e^(-3 x).The particular solution to ( d^2 y(x))/( dx^2)+y(x)-2.5 ( dy(x))/( dx)  =  0. is of the form:y_(p_1)(x) = a_1 x, where a_1 was multiplied by x to account for e^(0.5 x) and e^(2. x) in the complementary solution.The particular solution to ( d^2 y(x))/( dx^2)+y(x)-2.5 ( dy(x))/( dx)  =  e^(-3 x) is of the form:y_(p_2)(x) = a_2/e^(3 x)Sum y_(p_1)(x) and y_(p_2)(x) to obtain y_p(x):y_p(x)  =  y_(p_1)(x)+y_(p_2)(x)  =  a_1 x+a_2/e^(3 x)Solve for the unknown constants a_1 and a_2:Compute ( dy_p(x))/( dx):( dy_p(x))/( dx)  =  ( d)/( dx)(a_1 x+a_2/e^(3 x))  =  a_1-(3 a_2)/e^(3 x)Compute ( d^2 y_p(x))/( dx^2):( d^2 y_p(x))/( dx^2)  =  ( d^2 )/( dx^2)(a_1 x+a_2/e^(3 x))  =  (9 a_2)/e^(3 x)Substitute the particular solution y_p(x) into the differential equation:( d^2 y_p(x))/( dx^2)-2.5 ( dy_p(x))/( dx)+y_p(x)  =  e^(-3 x)+0.(9 a_2)/e^(3 x)-2.5 (a_1-(3 a_2)/e^(3 x))+(a_1 x+a_2/e^(3 x))  =  e^(-3 x)+0.Simplify:-2.5 a_1+(17.5 a_2)/e^(3 x)+a_1 x  =  e^(-3 x)Equate the coefficients of 1 on both sides of the equation:-2.5 a_1  =  0.Equate the coefficients of e^(-3 x) on both sides of the equation:17.5 a_2  =  1Equate the coefficients of x on both sides of the equation:a_1  =  0Solve the system:a_1 = 0.a_2 = 0.0571429Substitute a_1 and a_2 into y_p(x)  =  a_1 x+a_2 e^(-3 x):y_p(x)  =  0.0571429/e^(3 x)+0.The general solution is:Answer: |   | y(x)  =  y_c(x)+y_p(x)  =  0.0571429/e^(3 x)+c_1 e^(0.5 x)+c_2 e^(2. x)+0.

Beantwortet 3 Jun 2013 von Der_Mathecoach Experte CCI
Das hast Du falsch eingegeben.

Nicht e-3x, sondern e^(-3x) ist gefragt.

Man kommt dann auch auf die von elisa vorgegebene Lösung.
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Hi,

Du hast wohl bisher nur die homogene Lösung bestimmt. Also erstmal die rechte Seite als 0 betrachtet.

Nun betrachte den inhomogenen Teil. Rechte Seite Ansatz sei dafür y=ae^(-3x).

Folglich:

y'=-3ae^(-3x)

y''=9ae^(-3x)

 

Einsetzen in DGL:

9ae(-3x)-2,5*(-3ae^(-3x))+ae^(-3x)=e^(-3x) |:e^(-3x) und zusammenfassen

9a+7,5a+a=1

17,5a=1

a=0,0571429

 

Die Lösung der DGL lautet also y = c1 * e2x + c2 * e0,5x + 0,0571429* e-3x

 

Grüße

Beantwortet 3 Jun 2013 von Unknown Experte CXIV

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