Auf welcher Kurve bewegt sich Punkt X, wenn Punkt P den Halbkreis durchläuft?

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Es wäre echt total toll, wenn wir jemand die unten stehende Aufgabe lösen könnte, danke schon einmal im vorraus!


Aufgabe der Mathe-Olympiade Bayern

Der Punkt P liegt auf einem Halbkreis mit Mittelpunkt M.

Der Punkt X auf dem Radius MP hat von M den gleichen Abstand wie P vom Durchmesser des Halbkreises.

Auf welcher Kurve bewegt sich X, wenn P den Halbkreis durchläuft?

 

Gefragt 7 Okt 2012 von Gast ie1500

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Kreis

Es kommt tatsächlich dieser Kreis raus, wenn man rechnet.

Zeichne in der gegebenen Skizze das Lot durch den Punkt X auf der Kurve ein. Ich schreibe A für Alpha.

Da P(sin A | cos A) wenn der Radius des Halbkreises 1 ist, gilt für X das gleiche Verhältnis. Allerdings sind die Koordinaten mit der Länge der Hypotenuse cos A zu multiplizieren.

Also X(x|y) =X (sin A cos A | cos2 A) oder X (√ (1-cos2 A) cos A | cos2 A)

Der y-Wert ist also y=cos2 A        -------> cos A = ± √y

x = ±√y √(1-y)

x2 = y(1-y)

y2 - y + x2 = 0

y = 0.5 (1 ± √(1-4x2)

Habe ich gezeichnet als

y = 0.5 (1 + √(1-4x2)   (rot)     und      y = 0.5 (1 - √(1-4x2)      (grün)

 

 

 

Beantwortet 7 Okt 2012 von Lu Experte CII
ist ja alles schön und gut, aber was ich noch nicht so ganz verstehe ist wie man von 0=y^2-y+x^2 auf den nächsten schritt kommt

LG
Das ist eine uadratische Glg. für y mit a=1, b = -1 und c=x^2

oder p = -1 und q = x^2.
sorry, aber ist das dann nicht eine negative wurzel??
vergiss was ich grad geschrieben hab,

bedeutet das, dass der Radius des neuen Kreises halb so groß ist wie der des ersten?
Ja. Kann das sein?
ja, das sollte stimmen...
mir ist gerade der Gedanke gekommen was passiert, wenn der Radius größer als 1 ist...
Dann ist einfach eine Streckung mit dem Faktor R nötig. Du kannst das ja als Übung noch durchrechnen.

An der Tatsache, dass dieser 'halb so grosse' Kreis rauskommt ändert sich nichts.
tut mir leid dich nochmal zu nerven, aber dann stimmt x^2=y(1-y) nicht mehr...

 

Damit ist auch nicht zu rechnen. Da muss man den Parameter R bis am Schluss mitschleppen. Erst dann unter der Wurzel wird sich zeigen, für welche x die definiert ist.

Da P(R sin A | R cos A) wenn der Radius des Halbkreises R ist, gilt für X das gleiche Verhältnis. Allerdings sind die Koordinaten mit der Länge der Hypotenuse cos A zu multiplizieren.

Also X(x|y) =X (R sin A cos A | R cos2 A) oder X ( R√ (1-cos2 A) cos A | R cos2 A)

Der y-Wert ist also y = R cos2 A        -------> cos A = ± √ (y/R)

x = ±R √(y/R) √(1- (y/R))

x2 = R2 (y /R) (1- (y/R))

x2 = R2 (y /R) ((R- y)/R))

x2 =  y  (R- y)

y2 - Ry + x2 = 0

y = 0.5 (R ± √(R2- 4x2)

4x2 ≤ R2

|x| ≤ R/2

Der resultierende Kreis ist wieder halb so gross wie der gegebene.

 

Im Resultat fehlt noch eine Klammer :

y = 0.5 (R ± √(R2- 4x2))

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Wenn ich es mir so vorstelle, wie sich der Punkt X bewegt, so komme ich zum Schluss, dass er sich in einem Kreis mit einem Mittelpunkt, der auf der Senkrechten zum Durmesser liegt. Wenn man die zum Durchmesser senkrechte Strecke [MPunkt auf Kreis] halbiert, so hat man den Mittelpunkt des Kreises, auf dem X immer liegt. 

Beantwortet 7 Okt 2012 von simonai Experte III

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