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Im abgebildeten Quadrat haben die vier Rechtecke den gleichen Umfang.

Wie groß ist der Anteil der Fläche des schraffierten Rechtecks an der Fläche des Quadrats?

blob.png

Es wäre sehr nett, wenn mir jemand die Aufgabe beantworten könnte.

von

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Hui, eine Knobelaufgabe.
Also, erstmal sollte man ein paar Buchstaben für die Seiten vergeben:

 

Damit sind alle benötigten Seiten bekannt. Die Fläche des gesamten Quadrats ist a2, die Fläche des gesuchten Rechtecks f*b, es ist also nötig, f und b abhängig von a auszudrücken, um den Quotienten zu ermitteln.

 

Dafür müssen nach und nach die einzelnen Variablen eliminiert werden. Folgende Gleichungen lassen sich aus dem Bild ablesen:

2e + 2 c = 2a + 2d (I)

2e + 2c = 2b + 2f (II)

2a + 2d = 2b + 2f (III)

2f = e (IV)

c+b = a (V) |-b

2f + d = a (VI)

Zunächst kann man e = 2f  und c = a-b in alle Gleichungen außer (IV) und (V) einsetzen, um so e und c zu eliminieren:

4f + 2a - 2b = 2a + 2d (I*) |-2a

4f + 2a - 2b = 2b + 2f (II*) |+2b

2a + 2d = 2b + 2f (III*)

2f + d = a (IV*) | -2f

Nun lässt sich außerdem d=a-2f einsetzen, an den ersten beiden Gleichungen kann man auch noch ein bisschen feilen.

4f - 2b = 2a - 4f (I**) |+4f+2b

4f + 2a = 4b + 2f (II**) |-2f-2a

2a + 2a - 4f = 2b + 2f (III**) |+4f -2b

Das ergibt:

8f = 2a + 2b (i)

2f = 4b-2a (ii)

4a -2b = 6f (iii)

(ii) ergibt:

f = 2b - a (ii*)

Eingesetzt in (i):

16b - 8a = 2a + 2b |+8a -2b

14b = 10a

b = 5/7 a

Das wiederum eingesetzt in (ii*):

f = 10/7 a - a = 3/7a

 

Der Flächeninhalt des kleinen Rechtecks lautet also: f*b = 5/7 a * 3/7 a = 15/49 a2


Der Anteil am gesamten Quadrat lautet also 15/49.
 

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Vorüberlegung:

Da am Schluss nur das Verhältnis der Flächen des einen Rechtecks zur Fläche des Quadrats gesucht ist und Proportionalitäten im Spiel sind, kann man für die Quadratseite 1 setzen.

Nun nenne ich die Länge des Rechtecks (horizontal) a und die Breite (vertikal) b.

Gesucht ist somit das Verhältnis a*b : 1 oder einfach a*b

Nun kann ich die Figur beschriften.

Oben horizontal steht 1. Rechts vertikal von unten her b, b, 1-2b

Unten horizontal von links 1-a, a

Links vertikal von unten 2b, 1-2b

Da sind jetzt nur 2 Unbekannte vorhanden. Es genügen 2 Gleichungen.

Da sie Umfänge gleich sind, sind auch die halben Umfänge gleich.

Also einerseits

1.    a+b = (1-a) +2b

andererseits

2.    a+b = 1 + 1 -2b

2.'    a = 2-3b           einsetzen in 1.

1.'    (2-3b) + b = 1 -(2-3b) + 2b

1.''     2 -2b = - 1 + 3b + 2b

1.'''     3 = 7b         → b = 3/7

in 2.' einsetzen       a = 2 - 3*3/7  = (14-9)/7 = 5/7

Zum Schluss: Das gesuchte Verhältnis ist a*b = 3/7 * 5/7  = 15/49. Also 15 : 49

Kontrolle: 49 ist eine Quadratzahl. Man erhält deshalb eine ganzzahlige Lösung, wenn die Quadratseite proportional auf 7 vergrössert wird. Dann ist a=5 und b=3. Für die übrigen Rechteckseiten bleiben links 2 und 6 und obern 1 und 7. Der Umfang all dieser Rechtecke ist 2*8 = 16.

 

von 145 k

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