Anteil der Fläche des schraffierten Rechtecks an der Fläche des Quadrats?

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Es wäre sehr nett, wenn mir jemand folgende Aufgabe auf dem Bild beantworten könnte:

Quadrat mit 4 Rechtecksflächen

Im abgebildeten Quadrat haben die vier Rechtecke den gleichen Umfang.

Wie groß ist der Anteil der Fläche des schraffierten Rechtecks an der Fläche des Quadrats?

Gefragt 7 Okt 2012 von Gast ie1500

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Beste Antwort

Hui, eine Knobelaufgabe.
Also, erstmal sollte man ein paar Buchstaben für die Seiten vergeben:

 

Damit sind alle benötigten Seiten bekannt. Die Fläche des gesamten Quadrats ist a2, die Fläche des gesuchten Rechtecks f*b, es ist also nötig, f und b abhängig von a auszudrücken, um den Quotienten zu ermitteln.

 

Dafür müssen nach und nach die einzelnen Variablen eliminiert werden. Folgende Gleichungen lassen sich aus dem Bild ablesen:

2e + 2 c = 2a + 2d (I)

2e + 2c = 2b + 2f (II)

2a + 2d = 2b + 2f (III)

2f = e (IV)

c+b = a (V) |-b

2f + d = a (VI)

Zunächst kann man e = 2f  und c = a-b in alle Gleichungen außer (IV) und (V) einsetzen, um so e und c zu eliminieren:

4f + 2a - 2b = 2a + 2d (I*) |-2a

4f + 2a - 2b = 2b + 2f (II*) |+2b

2a + 2d = 2b + 2f (III*)

2f + d = a (IV*) | -2f

Nun lässt sich außerdem d=a-2f einsetzen, an den ersten beiden Gleichungen kann man auch noch ein bisschen feilen.

4f - 2b = 2a - 4f (I**) |+4f+2b

4f + 2a = 4b + 2f (II**) |-2f-2a

2a + 2a - 4f = 2b + 2f (III**) |+4f -2b

Das ergibt:

8f = 2a + 2b (i)

2f = 4b-2a (ii)

4a -2b = 6f (iii)

(ii) ergibt:

f = 2b - a (ii*)

Eingesetzt in (i):

16b - 8a = 2a + 2b |+8a -2b

14b = 10a

b = 5/7 a

Das wiederum eingesetzt in (ii*):

f = 10/7 a - a = 3/7a

 

Der Flächeninhalt des kleinen Rechtecks lautet also: f*b = 5/7 a * 3/7 a = 15/49 a2


Der Anteil am gesamten Quadrat lautet also 15/49.
 

Beantwortet 7 Okt 2012 von Julian Mi Experte X
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Vorüberlegung:

Da am Schluss nur das Verhältnis der Flächen des einen Rechtecks zur Fläche des Quadrats gesucht ist und Proportionalitäten im Spiel sind, kann man für die Quadratseite 1 setzen.

Nun nenne ich die Länge des Rechtecks (horizontal) a und die Breite (vertikal) b.

Gesucht ist somit das Verhältnis a*b : 1 oder einfach a*b

Nun kann ich die Figur beschriften.

Oben horizontal steht 1. Rechts vertikal von unten her b, b, 1-2b

Unten horizontal von links 1-a, a

Links vertikal von unten 2b, 1-2b

Da sind jetzt nur 2 Unbekannte vorhanden. Es genügen 2 Gleichungen.

Da sie Umfänge gleich sind, sind auch die halben Umfänge gleich.

Also einerseits

1.    a+b = (1-a) +2b

andererseits

2.    a+b = 1 + 1 -2b

2.'    a = 2-3b           einsetzen in 1.

1.'    (2-3b) + b = 1 -(2-3b) + 2b

1.''     2 -2b = - 1 + 3b + 2b

1.'''     3 = 7b         --------> b = 3/7

in 2.' einsetzen       a = 2 - 3*3/7  = (14-9)/7 = 5/7

Zum Schluss: Das gesuchte Verhältnis ist a*b = 3/7 * 5/7  = 15/49. Also 15 : 49

Kontrolle: 49 ist eine Quadratzahl. Man erhält deshalb eine ganzzahlige Lösung, wenn die Quadratseite proportional auf 7 vergrössert wird. Dann ist a=5 und b=3. Für die übrigen Rechteckseiten bleiben links 2 und 6 und obern 1 und 7. Der Umfang all dieser Rechtecke ist 2*8 = 16.

 

Beantwortet 8 Okt 2012 von Lu Experte C

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