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Lösung:


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Kann jemand die Lösung erklären? Vor allem verstehe ich den Fall 1 nicht. Das epsilon-Kriterium ist mir bekannt und dass | an - a | < epsilon und | cn  - a | < epsilon ist ergibt sich aus lim an = lim cn. 

Meine Vermutung: wir untersuchen bn links und rechts vom grenzwert a und schauen wie sich bn verhält...aber Fall 1 ist dennoch unklar.

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Man betrachtet im ersten Fall das

bna b_n \leq a

Daraus folgt

abn0 a-b_n \geq 0

Mit

anbnundana<ϵ a_n \leq b_n \qquad \text{und} \qquad \vert a_n-a \vert < \epsilon

folgt

abnaan=ana<ϵ a-b_n \leq a-a_n = \vert a_n-a \vert < \epsilon  

Diese Unterscheidung macht man, um die Betragstriche miteinzubeziehen, denn

aan0fu¨ra<an a-a_n \geq 0 \quad \text{für} \quad a<a_n

und

aan<0fu¨ran<a a-a_n < 0 \quad \text{für} \quad a_n<a

Man braucht die Fallunterscheidung um das Gleichheitszeichen vor dem Betragsterm setzen zu dürfen.

Gruß

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Da sind 2 Fehler in meiner Antwort bei den Beziehungen von a und an am Ende. Korrekt wäre

aan0aan a-a_n \geq 0 \quad \forall \quad a \geq a_n

und

aan<0a<an a-a_n < 0 \quad \forall \quad a < a_n

Ich verstehe allerdings die Argumentation nicht. Du schreibst "Man braucht die Fallunterscheidung um das Gleichheitszeichen vor dem Betragsterm setzen zu dürfen.".  Wozu gleichsetzen? Wie ist der Gedankengang von der Aufgabenstellung zu einer Lösung? Mir ist nicht klar wie die zwei Fälle zur lösung beitragen :/

Du hast recht, das mit dem  Betragsterm ist nur ein Teil der nötig ist.

1. Fall bn <= a

Hier nutzt man dass bn >= an gilt. Zusätzlich braucht man aber auch a >= an um den folgenden Term zu bekommen.

abnaan=ana<ϵ a - b_n \leq a - a_n = \vert a_n -a \vert < \epsilon

aan=anagilt nur wennaan a - a_n = \vert a_n - a \vert \qquad \text{gilt nur wenn} \quad a \geq a_n

Das ergibt sich aus

abnan a \geq b_n \geq a_n


Für den 2. Fall bn >= a macht man es genau spiegelverkehrt, mit bn <= cn

bnacna=cna<ϵ b_n - a \leq c_n - a = \vert c_n - a \vert < \epsilon

cna=cnagilt nur wennacn c_n -a = \vert c_n - a \vert \qquad \text{gilt nur wenn} \quad a \leq c_n

Das ergibt sich aus

abncn a \leq b_n \leq c_n


Im Endeffekt sucht man sich eine obere Schranke falls bn grösser als a ist und eine untere Schranke für den anderen Fall.


Ich hoffe, das hat es etwas verständlicher erklärt.


Gruß

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