konvergente Folge - Koeffizient

Question

Bisher weiß ich noch nicht so recht, wie ich an den Beweis heran gehen soll.

Beweisen sie: Seien(a_n) und (b_n) zwei konvergente Folgen mit Grenzwerten α und β, und seien α,β∈ K.

Dann ist auch die folgende Zahlenfolge konvergent:
lim n->∞ (αa_n + βb_n)= αa + βb

Answer 1

Für den Beweis benutzt man sogenannte Grenzwertsätze. z,B.:
Haben zwei Folgen je einen Grenzwert a bzw.b, so hat auch die Folge au den Summen entsprechender Glieder der Grezwert a+b. Hat eine Folge der Grenzwert a so hat auch die Folge aus den mit einem konstaten Faktor k multiplizierten Glieder den Grenzwert ka.

Comments

Der konstante Faktor verwirrt mich noch etwas. Ohne ihn würde ich schreiben:

Nach Vorausetzung gilt für fast alle n:

|a_n -a| < ε/2 und |b_n -b| < ε/2

Daraus folgt (mittels Δ-Gleichung):

|(a_n + b_n) - (a + b)| = |(a_n -a) + (b_n -b)| ≤ |(a_n -a)| + |(b_n -b)| < ε/2 + ε/2 = ε.

Wie verändert sich das mit dem konstanten Faktor?

|(αa_n + βb_n) - (a + b)| ... ? oder lässt sich das nicht so analog anwenden?