Differenzenfolge bn: Zeigen Sie, dass die Reihe der bn genau dann konvergiert, wenn die Folge der an konvergiert.

Question

Aufgabe:

Es sei $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ eine Folge reeller Zahlen. Wir definieren damit rekursiv die Folge $\left(b_{n}\right)$ durch

$b_{1}:=a_{1} \text { und } b_{n}:=a_{n}-a_{n-1} \text { fïr } n \geq 2$

Zeigen Sie, dass die Reihe $\sum \limits_{n=1}^{\infty} b_{n}$ genau dann konvergiert, wenn die Folge der $a_{n}$ konvergiert, und dass in diesem Falle

$\sum \limits_{n=1}^{\infty} b_{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}$

gilt.

Comments

Hinweis: Schreib dir die ak und die Teilsummen sk der bn ein Stück weit auf.

Eine ähnliche Frage:

https://www.mathelounge.de/30731/ich-suche-das-100-glied-der-zweiten…

Answer 1

Eine unendliche Summe ist nichts anderes als der Grenzwert ihrer Teilsummenfolgen. Deshalb:


Gegeben a1, a2, a3, a4, a5…

b1=a1, b2 = a2-a1, b3=a3-a2, b4=a4-a3

s1=a1=b1

s2=b1 + b2 = a1 + (a2-a1) = a2

s3= b1 + b2 + b3= = a1 + (a2-a1) + (a3-a2) = a3

Behauptung stimmt, denn alle Teilsummen sk haben gerade den Wert ak.

Deshalb lim sk = lim ak   für k gegen unendlich qed.

(Schreib das noch schön mit dem Summenzeichen. Summe bis k und lim k gegen unendlch davor)