Differenzenfolge bn: Zeigen Sie, dass die Reihe der bn genau dann konvergiert, wenn die Folge der an konvergiert.

Question

Aufgabe:

Es sei \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Folge reeller Zahlen. Wir definieren damit rekursiv die Folge \( \left(b_{n}\right) \) durch

\( b_{1}:=a_{1} \text { und } b_{n}:=a_{n}-a_{n-1} \text { fïr } n \geq 2 \)

Zeigen Sie, dass die Reihe \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} b_{n} \) genau dann konvergiert, wenn die Folge der \( a_{n} \) konvergiert, und dass in diesem Falle

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} b_{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n} \)

gilt.

Comments

Hinweis: Schreib dir die ak und die Teilsummen sk der bn ein Stück weit auf.

Eine ähnliche Frage:

https://www.mathelounge.de/30731/ich-suche-das-100-glied-der-zweiten-differenzenfolge-von-y-3

Answer 1

Eine unendliche Summe ist nichts anderes als der Grenzwert ihrer Teilsummenfolgen. Deshalb:


Gegeben a1, a2, a3, a4, a5…

b1=a1, b2 = a2-a1, b3=a3-a2, b4=a4-a3

s1=a1=b1

s2=b1 + b2 = a1 + (a2-a1) = a2

s3= b1 + b2 + b3= = a1 + (a2-a1) + (a3-a2) = a3

Behauptung stimmt, denn alle Teilsummen sk haben gerade den Wert ak.

Deshalb lim sk = lim ak   für k gegen unendlich qed.

(Schreib das noch schön mit dem Summenzeichen. Summe bis k und lim k gegen unendlch davor)