Wie ergibt sich die Normalengleichung aus der Tangentengleichung?

Question

bekanntlich lautet die Tangentengleichung ja t(x)=mx+t und die Normalengleichung n(x)=-1/m+t.

Wie kommt man darauf?

Answer 1

bekanntlich lautet die Tangentengleichung ja t(x)=mx+t
und die Normalengleichung n(x)=-1/m+t.
Wie kommt man darauf?

Deine Tangentengleichung ist schon falsch durch die 2malige
Verwendung von t. Besser ist
t ( x ) = m1 * x + b

Auf einer Geraden können unendlich viele Geraden senkrecht stehen.

Wichtig ist der Berührpunkt der Tangente mit der Funktion.
Eine  Gerade die durch diesen Punkt verläuft und senkrecht zur
Tangente ist heißt Normale.

Hier die Herleitung warum ( m1 * m2 = -1 ) oder ( m2 = -1 / m1 ) ist.

Bild 1 zeigt dir 2 sich kreuzende Geraden im rechten Winkel.
Bild 2 ist die rechte Hälfte ab dem Kreuzungspunkt.
Es gilt
Die Strecke nach rechts wird zu 1 gewählt.
tan ( oberer Winkel ) = m1 / 1  = m1
tan ( unterer Winkel ) = m2 / 1  = m2
In Bild 3 ist die Skizze im Uhrzeigersinn um 90 ° gedreht.
Es zeigt ein rechtwinkliges Dreieck bei dem die Höhe die Grundseite
in 2 Hälften teilt. Dafür gilt der Höhensatz des Euklid.
( linke Seite ) * ( rechte Seite ) = ( Höhe )^2
p  * q  = h^2 
p * q = 1^2 = 1
m1 * m2 = 1

Jetzt sind wir schon fast dort wo wir hin wollen.
In der 2.Skizze sieht man das m2 negativ ist.
Der Winkel ist fallend.
Im Dreieck der 3.Skizze müssen aber beide Strecken positiv sein.
Also wird eingeführt
 m1 * - m2 = 1
oder
 m1 * m2 = -1
oder
m2 = - 1 / m1

mfg Georg

Answer 2

> bekanntlich lautet die Tangentengleichung ja t(x)=mx + t und die Normalengleichung 

> n(x)=-1/m + t.

Das ist falsch

die Steigung der Normalengleichung beträgt zwar  -1/m_T , weil die Normale senkrecht auf der Tangente steht, aber der y-Achsenabschitt ist nicht der gleiche. Für dessen Berechnung benötigt man die Berührstelle der Tangente.

Gruß Wolfgang

Comments

Vielleicht ist t als einfacher Parameter gedacht so wie man auch das b bei linearen Funktionen kennt.

Das bedeutet es könnte in beiden Funktionen unterschiedlich sein. Ist allerdings trotzdem unglücklich. Am schönsten finde ich persönlich die Tangenten und Normalengleichung an einer Stelle a mit:

t(x) = f'(a) * (x - a) + f(a)

n(x) = -1/f'(a) * (x - a) + f(a)

Da hätte man dann nicht die blöden Bezeichnungsprobleme und einfacher bei der Berechnung ist es auch.