Oooh freu ! Mein unbarmherzigster Kritiker auf dem Konkurrenzportal ===> Ly cos war User Geejay . Wie ihr ja wisst, erweist sich mir nur selten jemand als gewachsen. Dagegen Geejay hatte für meine Künste nichts als beißenden Zynismus übrig. Und ich war ihm dankbar; ich durfte sehr viel von ihm lernen - genau das, was mir hier so fehlt.
Hier wirst du ja deaktiviert, wenn du zu viel weißt, was nicht in den offiziellen Lehrbüchern steht. Bei Ly cos ist das bissele anders; da fliegst du, wenn dein Rang zu hoch ist ( Dort haben nicht die Matrizen Ränge, somdern die User. ) ( Laut Wiki funktioniert Ly cos wie " Wer wird Millionär? " )
Und Geejay erwischte es im Range eines " Vizeleonardo " ; er nahm es sich zu sehr zu Herzen. Sein Logo war der ===> Wittgensteinsche ===> HE-Kopf; gewisser Maßen Maggie Thatchers Gummiente.
Immerhin weiß ich mich Geejay verpflichtet, weil er mir die ===> Lambertsche W-Funktion " gelernt " hat. Und ich ferachte es im höchsten Maße unanständig, ihn nicht zu zitieren so nach dem Motto
" Sie ist ja längst in der Literatur belegt, obwohl kein Mathe-und kein Physikstudent je von ihr vernommen hat . . . "
Das Internet ist voll von Übungsaufgaben, wie man Gleichungen mit W löst. Diese Funktion erweist sich als äußerst vielseitig. Im Wesentlichen musst du dir nicht viel mehr überlegen als bei der quadratischen Ergänzung ( QE ) auch; das Ziel der QE besteht darin, auf der linken Seite ein vollständiges Quadrat zu erreichen. Und hier ist das Ziel ein " vollständiges W "
Trotzdem entsteht hier eine zusätzliche Komplikation; fast möchte ich sagen eine Verwandtschaft zu den Brettspielen. Meist erreichst du das Ziel des vollständigen W erst auf Umwegen über mehrere Züge; und du musst dir im Klaren sein, was die " Spielregeln " erlauben. Musst du den nächsten Zug im KOEFFIzienten oder im EXPONenten vornehmen?
Wenn du über den nötigen Überblick verfügst so wie ich, kann sich Wolfram durchaus als ein interaktiver Freund erweisen. Mein Chef kannte so einen Spruch
" Alle Konstanten sind variabel. "
Wer schon mal stilistisch sauber eine Unterroutine programmiert hat, wird wissen, wovon ich rede. Und so beschloss ich denn, in deine Gleichung eine Variable a einzuführen, ihre Aussage zu verallgemeinern.
exp ( z ) = ( a / 2 ) ² z ² ( 1a )
In deinem Falle wäre zu setzen
a = sqr ( 8 ) = 2 sqr ( 2 ) ( 1b )
Ferner führe ich eine Substitution durch
z := 2 x ( 1c )
exp ( -/+ 2 | x | ) = a ² x ² | sqr ( 1d )
Experimente mit Wolfram haben nämlich ergeben, dass diese Normierung Zweck mäßig scheint, um uns des Problem fremden Faktors sqr ( 2 ) zu entledigen. In ( 1d ) beginnt schon die eigentliche W-Strategie; wir wollen die e-Funktion neben ein lineares " x " stellen. Das störende Quadrat muss weg.
Als ganz besonders teuflisch erweist sich hier die Zweideutigkeit von " Minus / Plus Wurzel " Zwar sind beide, e-Funktion wie Paeabel, ausschließlich positiv. Aber die e-Funktion ist eben auch für negative x definiert; und selten hat sich meine Warnung so sehr bewahrheitet, Minuszeichen keines Falls implizit zu verstecken.
exp ( -/+ | x | ) = a | x | ; a > 0 | * exp ( +/- | x | ) ( 2a )
Die e-Funktion muss nach Rechts; genau wie bei der QG stört der Faktor a und muss auf die andere Seite .
| x | exp ( +/- | x | ) = 1 / a | * ( +/- 1 ) ( 2b )
In ( 2b ) passiert etwas total Merkwürdiges. Um richtig zu ergänzen, musst du mit dem Vorzeichen multiplizieren, welches der Schnittpunkt haben soll. Die Wurzel in ( 1d ) war ja noch eindeutig; wir werden auch sehen, dass sich diese beiden Vorzeichen bei der W-Funktion ganz anders auswirken als bei einer Wurzel.
+/- | x | exp ( +/- | x | ) = +/- 1 / a | W ( 2c )
Zunächst das Pluszeichen, entsprechend dem negativen Schnittpunkt in ( 1d )
x0 = - | x | = - W ( 1 / a ) ( 2d )
( 2d ) ist völlig unkritisch; da die Parabel vom Nullpunkt asymptotisch nach ( + °° ) geht, während die e-Funktion von ( 0 | 1 ) nach ( - 0 ) verebbt, muss es links einen Schnittpunkt geben. Einige elementare Werte, wie sie Wiki auflistet
a = 1 ===> x0 = ( - w ) ( 3a )
w ist die transzendente Zahl ===> Omega .
Betrachten wir die Nullfolge
a < n > := ( 1 / n ) exp ( - n ) ( 3b )
Dann liefert uns die W-Funktion die folge von Schnittpunkten
x < n > = - n ( 3c )
Das kllingt logisch; die Krümmung der Parabel wird immer schwächer, und der Schnittpunkt wandert nach Links.
Wenn wir jetzt das Minuszeichen in ( 2c ) auswerten, kommt eine Eigenschaft der W-Funktion ins Spiel, die uns fatal an die Wurzelfunktion erinnert: Wir haben zwei Zweige W0 so wie W(-1) analog Plus / Minus Wurzel.
x1 = | W0 ( - 1 / a ) | ; x2 = | W(-1) ( - 1 / a ) | ( 4a )
Analog ( 3b ) setzen wir
a < n > := ( 1 / n ) exp ( n ) ( 4b )
x2 < n > = n ( 4c )
Dass ( 4b ) gegen Unendlich divergiert, sieht man so ein: Bilde die reziproke Folge; und dann
" Die e-Funktion unterdrückt jedes Polynom. "
Allerdings kommt dem Wert a1 = e in ( 4b ) eine besondere Bedeutung zu; für Werte a < e besitzt die W-Funktion in ( 4a ) keine reellen Werte mehr. Dein a = 2 sqr ( 2 ) liegt nur knapp über e ; Wolfram liefert einen Einwand freien Plot mit allen drei Schnittpunkten.
Die Grenzlage bei a = e entspricht offensichtlich einer gemeinsamen Tangente von Parabel und e-Funktion; das lässt sich sogar elementar einsehen. Schnittpunktsbedingung
exp ( 2 x ) = a ² x ² ( 5a )
gemeinsame Ableitung
exp ( 2 x ) = a ² x ( 5b )
Gleichsetzungsverfahren; die e-Funktion in ( 5ab ) wird gleich gesetzt und dadurch der störende transzendente Term entfernt.
x ² = x ===> x1 = 0 ; x2 = 1 ( 5c )
Genau genommen ist ( 5c ) ja nichts weiter als eine notwendige Bedingung; " Elimination von e-Funktionen " ist keine ===> Äquivalenzumformung.
x1 = 0 brettert in ( 5a ) auf " die Urkatastrofe 1 = 0 " ===> Douglas Hofstädter. Dagegen liefert x2 = 1 die korrekte Aussage a ² = e ² .
Besonders edel macht sich übrigens eine grafische Lösung in doppelt logaritmischer Darstellung ( DLD ) Die ganzen Parabeln bilden nämlich auf einmal eine Schar paralleler Geraden mit Steigungsmaß 2 . Aber wie sieht eine e-Funktion in DLD aus? DLD nutzt die Koordinatentransformation
y := exp ( 2 x ) ( 6a )
u := ln ( y ) = 2 x ( 6b )
v := ln ( x ) ( 6c )
( max Zeichen )
