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In Abwandlung der kürzlich hier behandelten Frage https://www.mathelounge.de/335220/schnittflache-bei-zwei-kreisen-ist-die-halbe-kreisflache stellt sich folgende Frage:

Bild Mathematik

Die Ziege (schwarzer Punkt) ist an einem Silo angebunden (rot), das Silo hat einen Umfang von 16 Metern und der Strick mit dem die Ziege angebunden ist, ist ebenfalls 16 Meter lang.

Wie groß ist die von der Ziege erreichbare Fläche auf der Wiese? Der blau kolorierte Halbkreis gehört dazu.

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....oder aus Popular Science, Juni 1940, S. 14:

Bild Mathematik

2 Antworten

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Benutzer HyperG verlinkt auf seiner Website, auf die er in seiner Antwort hier verweist, das bis auf die Abmessungen identische Problem von Upnorensis. Ich verwende darum die dortigen Abmessungen, nämlich eine Stricklänge von 160 anstatt 16 Metern (was für eine glückliche Ziege). Das hat für mich den Vorteil, dass ich mein Ergebnis mit der im 18. Jahrhundert publizierten Fläche (76257.86) vergleichen kann.

Ich gehe davon aus, der Ursprung des Koordinatensystems sei bei der Ziege.

Die schwarze Kurve (Kreisevolvente) ist

x = f(t) = 160/(2Pi) (-sin t + t cos t)

y = g(t) = 160/(2Pi) (-cos t - t sin t + 1)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=parametric+plot+%28160%2F%282Pi%29*%28-+sin+t+%2B+t+cos+t%29,+160%2F%282Pi%29*%28-cos+t+-+t+sin+t%2B1%29%29,+t%3D0..2pi

und die blaue Kurve ist

x = f(t)=160 (sin t - t cos t)

y = g(t) = 160/(2Pi) (-cos t - t sin t + 1)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=parametric+plot+%28160%2F%282Pi%29*%28sin+t+-+t+cos+t%29,160%2F%282Pi%29*%28-cos+t+-+t+sin+t%2B1%29%29,+t%3D0..2pi

Die beiden Kurven schneiden sich bei t = 4.4934 (hinter dem Silo); dieser Wert ergibt sich numerisch durch f(t) = 0 und ist unabhängig von der Länge des Stricks.

Zur Bestimmung des Flächeninhalts der von der schwarzen Kurve, dem blauen Halbkreis und der y-Achse begrenzt ist, integriere ich nach der Regel für das Integral bei parametrischen Gleichungen g(t) * d/dt f(t) von t=4.4934 bis 2 Pi und erhalte 19040.2 m^2.

Die erreichbare Fläche besteht aus zweimal 19040.2 m^2, plus den blauen Halbkreis (40212.4 m^2), minus die rote Silofläche (2037.2 m^2), was mit der Lösung von Upnorensis, der bei seiner Angabe des Lösungsweges für mich unverständliche historische Begriffe verwendet, sehr gut übereinstimmt.

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Da im hier gestellten Problem der Strick um den Faktor 10 kürzer ist, wird die Fläche um den Faktor 100 kleiner, also 762.5566 anstatt 76255.66 m^2

Fällt dem Mathecoach, Wolfgang, Lu oder den anderen Habitués hier vielleicht eine schlauere Lösung ein?

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Auch diese Aufgabe ist schon sehr alt (grazing-goat-and-silo-problem; vermutlich schon 1748).

Statt viel Arbeit und Schreiberei verweise ich auf die LINK-Sammlung

http://www.gerdlamprecht.de/133731Ziegenfaktor.htm

unter Abgewandelte 2D-Flächen:

findet man über 14 LINKs ...

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Ein gewaltiger Linkgarten. Und wie rechnet man nun den Flächeninhalt aus?

http://mathworld.wolfram.com/GoatProblem.html

L/a = Pi

A=Pi*L²/2+L³/(3a)

Probe mit http://www.mathalino.com/reviewer/integral-calculus/area-grazing-goat-tied-silo

L=10Pi -> a=L/Pi

A=Pi*(10Pi)²/2+(10Pi)³/(3*(10))=2583.856390024985014623... selbe Ergebnis!

Dein Beispiel mit L=16:

A=Pi*(16)²/2+(16)³/(3*(16/Pi))=670.206432765822557538697255...

Da bin ich, mit Verlaub, nicht ganz einverstanden mit der Lösung: Bei beiden Webseiten ist die Länge des Stricks maximal halber Kreisumfang, bei der hier gestellten Frage nicht.

Ja, Du hast recht -> L/a = Pi ist der Fall, dass Leine bis hinter Silo reicht,

hier soll aber Umfang = L sein -> also einmal herum.

War zu voreilig. Entschuldigung. Hast Punkt verdient.

Wie würdest du es denn lösen?

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