Hi
zu I(a)
Die homogene DGL lautet $$ \frac{dc_h(t)}{dt} = -\beta\ c_h(t) $$ Daraus folgt
$$ \frac{dc_h(t)}{c_h(t)} = -\beta\ dt $$ Integration ergibt
$$ \ln(c_h(t)) = -\beta\ t + K' $$ also folgt
$$ c_h(t) = c_{h,0}e^{-\beta t} $$
Zu I(b) und I(c)
setzte \( c(t) = z(t)\ c_h(t) \) dann folgt
$$ z'(t)\ c_h(t) + z(t)\ c'_h(t) = \alpha - \beta z(t)\ c_h(t) $$
mit \( c'_h(t) = -\beta\ c_h(t) \) folgt
$$ z'(t)\ c_h(t) - z(t)\ \beta\ c_h(t) = \alpha - \beta z(t)\ c_h(t) $$ also
$$ z'(t) = \frac{\alpha}{c_{h,0}}e^{\beta t} $$
zu I(d)
Die Lösung für \( z(t) \) lautet \( z(t) = \frac{\alpha}{c_{h.0}\beta}e^{\beta t}+z_0 \)
Zu I(e)
$$ c(t) = z(t) c_h(t) = \left( \frac{\alpha}{c_{h.0}\beta}e^{\beta t}+z_0 \right) c_{h,0}e^{-\beta t} = \frac{\alpha}{\beta} + z_0\ c_{h,0}e^{-\beta t} $$
Also \( c_0 = \frac{\alpha}{\beta} + z_0\ c_{h,0} \) daraus folgt
$$ c(t) = \frac{\alpha}{\beta} (1-e^{-\beta t})+c_0 e^{-\beta t} $$
Zu II(f)
die stationäre Lösung lautet \( 0 = \alpha -\beta c^{\star} \) also \( c^{\star}=\frac{\alpha}{\beta} \)
Zu II(g) und II(h)
$$ c(t) = y(t)+c^{\star} $$ Daraus folgt
$$ y'(t) = \alpha -\beta (\ y(t)+c^{\star}\ ) = \alpha -\beta\ y(t) -\alpha = -\beta\ y(t) $$
Zu II(i)
Die Lösung lautet \( y(t) = y_0\ e^{-\beta t} \)
Zu II(j)
$$ c_0 = y_0+\frac{\alpha}{\beta} $$ also $$ y_0 = c_0 - \frac{\alpha}{\beta} $$
Daraus ergibt sich \( c(t) \) zu
$$ c(t) = y(t) + \frac{\alpha}{\beta} = \left( c_0 - \frac{\alpha}{\beta} \right) e^{-\beta t}+\frac{\alpha}{\beta} $$
Man kommt also auf die gleiche Lösung wie vorher.
