Alle Lösungen der komplexen Gleichungen berechnen. Bsp. z3 - 10z2 + 36z - 40 = 0 mit z1 = 4 - 2i

Question

Zeige, dass die gegebene Zahl eine Lösung der Gleichung ist. Berechne alle Lösungen.

a) z³ - 6z² - 5z + 39 = 0   mit    z₁ = 3 + 2i             b) z³ - 10z² + 36z - 40 = 0    mit    z₁ = 4 - 2i

Berechne alle Lösungen der Gleichung  2z⁵ + 3z⁴ + 2z³ + 2z² - 1 = 0     mit   z₁ = i ,  z₂ = -1

Comments

Und die Frage dazu wäre?

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Diese Angabe steht in meinem Mathematikbuch. Es soll gezeigt werden, dass die Lösung mithilfe von z1 = 3 + 2i bzw. z1 = 4 -2i Null ist.

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Danke, aber die Aufgabe hatte ich schon verstanden, doch was ist dein Problem damit?

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Ich weiß nicht, was ich mit z1 machen soll. Deswegen bitte ich Sie, dass Sie mir die Lösung schrittweise mit Erklärungen zeigen würden. Ich wäre damit sehr dankbar.

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Zeige, dass die gegebene Zahl eine Lösung der Gleichung ist. Berechne alle Lösungen.

a) z³ - 6z² - 5z + 39 = 0   mit    z₁ = 3 + 2i             b) z³ - 10z² + 36z - 40 = 0    mit    z₁ = 4 - 2i

Berechne alle Lösungen der Gleichung  2z⁵ + 3z⁴ + 2z³ + 2z² - 1 = 0     mit   z₁ = i ,  z₂ = -1

Danke für Ihre Hilfe

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Zeige, dass die gegebene Zahl eine Lösung der Gleichung ist. Berechne alle Lösungen.

a) z³ - 6z² - 5z + 39 = 0   mit    z₁ = 3 + 2i             b) z³ - 10z² + 36z - 40 = 0    mit    z₁ = 4 - 2i

Berechne alle Lösungen der Gleichung  2z⁵ + 3z⁴ + 2z³ + 2z² - 1 = 0     mit   z₁ = i ,  z₂ = -1

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Du hast diese Frage gestern bestimmt schon 3 mal gestellt.

Ich habe zumindest ein Duplikat geschlossen und  sie  auch schon beantwortet.

Benutze bitte die Suche.

Tipp: Wenn du dich anmeldest, findest du deine eigenen Fragen einfacher wieder. Du musst dir einfach erst mal einen "Namen" überlegen, den du nicht vergisst.

Du kannst und sollst bei dieser Aufgabe die Theorie und den Satz von Vieta anwenden. Dann gibt es sehr viel weniger zu rechnen. 

Answer 1

Du brauchst doch bei a und b nur die gegebenen Lösungen in die Gleichungen einsetzen und zeigen, dass die Gleichung erfüllt ist.

bei der letzten Aufgabe könnte eine Polynomdivison helfen

Comments

Sicher möchte der Aufgabensteller herausfinden, ob es Leute gibt, die das geschickter machen...

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Ich weiß nicht genau, wie man das macht. Eine Hilfe wäre hilfreich.

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a) ist sicher nicht richtig gestellt schau nochmal nach

b) z³ - 10z² + 36z - 40 = 0

Gegebene Nullstelle ist 4 - 2i. Also ist auch 4 + 2i eine Nullstelle. Warum ist das so? Überlege mal!

Warum kann ich das jetzt schreiben als z² - 8·z + 20 ? Überlege mal!

Nun polynomdivision

(z³ - 10·z² + 36·z - 40) / (z² - 8·z + 20) = z - 2

Aha. Letzte Nullstelle also auch gefunden.

Answer 2

(b)  Wenn $z_1$ eine Nullstelle ist, dann ist $z_2=\overline{z_1}$ auch eine. Bezeichne die dritte Nullstelle mit $z_3$. Nach Vieta gilt $z_1+z_2+z_3=10$. Daraus folgt $z_3=2$.

Answer 3

a) z³ - 6z² - 5z + 39 = 0   mit    z₁ = 3 + 2i

Da alle Koeffizienten ganzzahlig sind, kennst du z_(2) = 3 - 2i

Rechne nun z_(1) * z_(2)

und überlege dir, wie du mit Hilfe von 39 die 3. Lösung deiner Gleichung berechnen kannst.

Kontrolliere dann hiermit https://www.wolframalpha.com/input/?i=z%5E3+-+6z%5E2+-+5z+%2B+39+%3D… und stelle fest, dass du irgendetwas falsch abgeschrieben hast, bzw. die Aufgabenstellung falsch war.

b) z³ - 10z² + 36z - 40 = 0    mit    z₁ = 4 - 2i

analog wie a) Vielleicht stimmt ja diese Fragestellung. ;)

Bei c) vergleichst du zum Schluss nicht mit -1 sondern mit -1/2 . Kannst du erklären warum?

Answer 4

a)

Die gegebene Lösung bei ist nicht korrekt

b)

z³ - 10z² + 36z - 40 = 0    mit    z₁ = 4 - 2i

Du kannst den Linearfaktor z - z₁   mit dem Hornerschema (oder Polynomdivision) "herausdividieren"

www.youtube.com/watch?v=tMehEcEsRsY

1       -10         36       -40  

-       4-2i      -28+4i     40

1      -6-2i      8+4i        0 

→    z³ - 10z² + 36z - 40  =  (z - z₁ ) • ( z² + (-6-2i) • z + 8+4i )

die beiden restlichen Lösungen von   z² + (-6-2i) • z + 8+4i  = 0  findest du mit der pq-Formel.

[Zur Kontrolle: z = 4 + 2·i  ∨  z = 2]

Gruß Wolfgang