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Hallo ich habe die Aufgabe :

Bild Mathematik

kann mir jemand erklären wie ich das mit der Parallelheit und den Punkten gemeint ist bzw. wie ich dann auf die Ebenen gleichung komme?

danke !

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Parameterform

E: X = [3, 2, -1] + r·[-2, -3, 3] + s·[3, 2, -2]

Normalenvektor

N = [-2, -3, 3] ⨯ [3, 2, -2] = [0, 5, 5] = 5·[0, 1, 1]

Koordinatenform

E: X·[0, 1, 1] = [3, 2, -1]·[0, 1, 1]

E: y + z = 1

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Paramform: (3,2,-1) + t * PQ + s * (3;2;-2)

weil der Richtungsvektor der Geraden in der Ebene liegen muss,

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Hallo mathef , meinst du mit PQ die summe der beiden , also Spitze minus schaft?

(1-3,-1-2,2--1)=(-2,-3,3) .Also den zweiten richtungsvektor der ebene bekommt man durch die 2 punkte?

und zur Impliziten Form da braucht man doch irgendwie 3 gleichungen oder?

Wie würden die lauten?

mathef: Die Parameterform einer Ebenengleichung sollte eine Gleichung sein und ein "gleich" enthalten.

Bitte. Gern geschehen.

Kontrolllösung ohne Gewähr: E:  y + z = 1.

Diese Ebene verläuft dann übrigens auch parallel zur x-Achse.

EDIT: Sollte eigentlich Kommentar zu meiner Antwort sein.

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Was hier unter impliziter Form gemeint ist, solltest du unter Koordinatenform in der Wikipedia oder einem Vektorgeometriebuch finden.

Parameterform heisst eigentlich überall sonst auch Parameterform. Findest du daher bestimmt. Betrachte die entsprechenden Bildchen z.B. in der Wikipedia.

Parallelität: Damit die Ebene parallel zur gegebenen Geraden g ist, kannst du in der Parameterform den Richtungsvektor der Geraden g als einen Richtungsvektor verwenden. Dann musst du nur noch dafür sorgen, dass die Ebene auch noch durch die beiden andern Punkte geht.

Daher wie mathef schon geschrieben hat:

Parameterform der Ebenengleichung E: r =  (3,2,-1) + t * (-2,-3,3)  + s * (3;2;-2) .

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Ok danke Lu! Das mit der impliziten Form schau ich mir noch an ,wird aber nicht so schwer so sein ein paar Gleichungen aufstellen und auflösen:)

 (3,2,-1) + t * (-2,-3,3)  + s * (3;2;-2)

Die Gleichungen, die sich ergeben, sind:

x = 3 - 2t + 3s

y = 2 - 3t + 2s

z = -1 + 3t - 2s

Bitte nachprüfen (Vorzeichen...). Danach müssen t und s noch verschwinden. 

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   Ich hab mal gesehen, was meine hoch verehelichten Vorgänger schon haben. Stützpunkt ist | P > ; jetzt musst du noch zwei linear unabhängige Vektoren   | w1;2 > angeben, die die Ebene | r >  aufspannen.




          |  r  >  (  u  ;  v  )  :=  |  P  >  +  u  |  w1  >  +  v  |  w2  >       (  1a  )     



     ( Ich halte mich weit gehend an die Notation aus deiner Aufgabe; ganz konsistent ist sie nicht. )


    Dass die Ebene  |  r  >  (  u  ;  v  ) und die Gerade  |  r  >  (  t  ) beide mit dem selben Buchstaben r bezeichnet werden, ist alles andere als korrekt; nicht nur handelt es sich um zwei verschiedene Funktionen, sondern auch um Funktionen verschiedenen Typs. Wenn |  r  >  (  u  ;  v  )  parallel zu |  r  >  (  t  )  , muss es sich einrichten lassen, dass | w2 >  in ( 1a ) gleichzeitig Richtungsvektor der Geraden ist:



         |  w2  >  =  |  3  ;  2  ;  -  2  >    (  1b  )

         |  w1  >  =  |  Q  >  -  |  P  >  =  |  -  2  ;  -  3  ;  3  >     (  1c  )



    Du fragst, was eine implizite Funktion ist; schau am besten mal in Wiki. Häufig bietet die implizite Darstellung zwei Vorteile: Die Symmetrie zwischen x , y und z wird nicht zerstört; und zweitens ist die implizite Formel häufig kompakter und ästetischer als eine explizit aufgelöste.

   Stell dir vor du hast in der Ebene einen beliebigen Punkt T


     |  T  >  :  =  |  x  ;  y  ;  z  >  =        (  2a  )

                   =  |  P  >  +  u  |  w1  >  +  v  |  w2  >   |  -  |  P  >       (  2b  ) 

                   u  |  w1  >  +  v  |  w2  >  =  |  T  -  P  >     (  2c  )



    Dabei habe ich wie üblich den Umformungsschritt in ( 2b ) vermerkt.

   Hier ich freu mich ja wie ein Schneekönig, dass diemal ich im Recht bin. Wie rechnest du die Parameterform ( PF ) in die Koordinatenform ( KF ) um? In den Guidelines heißt es

   " Halte deine Antwort stets so einfach wie möglich. "

   Schon unser Feuerzangenlehrer Dr. Hugo Meder

  " Der Hugo ist groß, der Hugo ist mächtig; ein Hugo Meder ist 1.60 m ... "

   Schon unser Hugo Meder, der nach jedem " Schööler " mit dem Schlüsselbunde warf, der ihn nicht mit dem korrekten Doktortitel anredete ( Der also gemaßregelte Knabe hatte besagten Schlüsselbund wieder zurück zu bringen ) sprach also:

  " Man soll die Stimmen / Nicht zählen, sondern wägen / Denn bei der Minderheit liegt der Verstand. "

   Wenn ich mir die Vorschläge zur Umrechnung der PF in KF betrachte, dann stellen sich alle User beliebig kompliziert an: Schüler, Studenten, unsere Administratoren und nicht zuletzt ( ausgewiesene ) Studienräte. Nur einer hatte wirklich eine zündende Idee; bei dem Konkurrenzportal ===> Ly cos der Oberstufenschüler " der Mo " ( von Mohammed )

   Warum geht man überhaupt aus von Form ( 2c ) ? Vor dem Billy Mo hat das noch keiner gesehen; weil

   1)  Form ( 2c ) besagt, dass die drei Vektoren w1 , w2 und | T - P > linear abhängig sind.

   2) ergo a tergo IHRE DETERMINANTE VERSCHWINDET .



       det  (  w1  ;  w2  ;  T  -  P  )  =  0     (  3a  )


  

   ===>  " Das waren Zeiten, als der alte Oberförster Hugo noch lebte; Hugo war sein Name. "

  " So weit die Teorie " , sprach unser Musiklehrer Pauli; " jetzt kommt die Praxis. "

  " Welchen Notenwert hat der Pauli? Halbe Note; hohler Kopf mit Hals ... "

  Wir müssen ( 1bc;2a ) einsetzen in ( 3a )


                | -2    3  x-3 |

     det  =  | -3    2  y-2 |          =  0        (  3b  )

                |  3  -2  z+1 |



    Gemäß dem ===> Determinanten-Entwicklungssatz wird nach Spalte 3 entwickelt; in diesem Fall bringt das sogar echte Vorteile.



    det  =  |  3 -2  |   (  3  -  x  )  -  | -2     3  |   (  y  -  2  )  +  | -2  3  |  (  z  +  1  )  =  0     (  3c  )

               |  3 -2  |                       |  3    -2  |                        | -3  2  |

              


    Die Koeffizienten in ( 3c ) sind selbst 2 X 2 Determinanten; gleich bei dem x-Glied fällt aber auf, dass sich diese Determinante aus zwei gleichen Zeilen zusammen setzt - sie ist Null.



     det  =  5  (  y  -  2  +  z  +  1  )  =  0  ===>  y  +  z  =  1       (  3d  )


    Bei der z-Determinante hat Zeile 2 umgekehrtes Vorzeichen wie bei y ; dafür wird aus dem Minuszeichen ein Plus.

   Diese Determinante gibt dir automatisch die implizite Form, weil sie weder x noch y noch z einseitig bevorzugt.

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