isomorphe Ringe, gleiche Anzahl an Elementen

Question

ich soll zeigen, dass für isomorphe Ringe R = S gilt, dass die Anzahl der Elemente von R^x und S^x gleich ist, also #R^x = #S^x.

(vielleicht ist Euler Fermat das Stichwort?)

Comments

Was bedeutet \( R^x \) für einen Ring \( R \)?

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R^x ist die Einheit

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wohl eher:  Die Menge aller Einheiten von R  ???

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Ist das nicht trivial? Ein Ringisomorphismus bildet (per Definition) Einheiten auf Einheiten und Nichteinheiten auf Nichteinheiten ab.

Es ist zum Beispiel \( \varphi(R^x) \subset S^x \) und \( \varphi^{-1}(S^x) \subset R^x \Rightarrow S^x \subset \varphi(R^x) \) und damit \( \varphi(R^x) = S^x \).

Genauso ergibt sich \( R^x = \varphi^{-1}(S^x) \).

Answer 1

Dazu brauchst du doch wohl nur zu zeigen:

Falls f ein Isomophismus von R nach S ist:

 x ist eine Einheit von R ⇔ f(x)  ist eine Einheit von S

Dann ist die Einschränkung von f auf die Menge der Einheiten

von R eine bijektive Abb. von R^x und S^x  und damit ist  #R^x = #S^x.