weglänge berechnen Rechenweg

Question

wie lautet hier der Ansatz ? Bzw. wie geht man hier vor ? :)

Der stetig differenzierbare Weg $\alpha:[0,6 \pi] \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ sei gegeben durch
$$\alpha(t)=\left(\begin{array}{c} {e^{2 t} \cos \left(\frac{3}{2} t\right)} \\ {e^{2 t} \sin \left(\frac{3}{2} t\right)} \\ {e^{2 t}} \end{array}\right)$$
Berechnen Sie die Weglänge von $\alpha .$ 

Answer 1

Hi,
die Weglänge berechnet sich aus $$\int_0^{6 \pi} \| \dot \alpha(t) \|_2\ dt$$
Es gilt $$\dot \alpha(t) = \frac{e^{2t}}{2} \begin{pmatrix} 4\cos\left( \frac{3t}{2}\right)-3\sin\left( \frac{3t}{2}\right)\\3\cos\left( \frac{3t}{2}\right)+4\sin\left( \frac{3t}{2}\right)\\4 \end{pmatrix}$$
Daraus folgt $$\| \dot \alpha(t) \|_2 = \frac{e^{2t}}{2}\sqrt{41}$$ und damit gilt
$$\int_0^{6 \pi} \| \dot \alpha(t) \|_2\ dt = \frac{\sqrt{41}}{4}\left[ e^{12 \pi} - 1 \right]$$

Comments

Eine Frage zum letzte Schritt dem Integral hätte ich, kommt die 4 unter dem Bruchstrich dadurch zustande, dass das ganze in der zwei Norm berechnet wird und somit die 2 quadriert wird? Denn ich habe als Integral √41/2 (e^12π-1) heraus.

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Hi,

die Stammfunktion von $e^{2t}$ ist $\frac{1}{2}e^{2t}$ und daher kommt die $4$ im Nenner.

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Ah ok, dann ist alles klar, danke.