Konvergenzradius ausrechnen: (k^2+4k+4)/(2^(k+2)) * (2*2^(k+2))/( k^2+6k+9) =2 Warum?

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Ich bin gerade am lernen und habe in der Lösung folgende Lösung:

(k2+4k+4)/(2k+2) * (2*2k+2)/( k2+6k+9) =2

Leider kann ich das Ergebnis nicht nachvollziehen.

           

Gefragt 6 Jun 2016 von Gast ie1322

2 Antworten

+2 Daumen

Hallo,

du hast vergessen den limes mit aufzuschreiben:

lim k--> ∞ (k2+4k+4)/(2k+2) * (2*2k+2)/( k2+6k+9)=lim k--> ∞ 2*(k2+4k+4)/(( k2+6k+9))

den Bruch mit 1/(k^2) erweitern:

lim k--> ∞ 2*(1+4/k+4/k^2)/(( 1+6/k+9/k^2))

die Terme mit dem k sind jetzt alle Nullfolgen, deshalb

lim k--> ∞ 2*(1+4/k+4/k^2)/(( 1+6/k+9/k^2))=2*(1+0+0)/(1+0+0)=2

Beantwortet 6 Jun 2016 von Gast jc2144 Experte XIII
+1 Punkt

 lim (k^2+4k+4)/(2^(k+2)) * (2*2^(k+2))/( k^2+6k+9)      | Bruchmultiplikation

 = lim (k^2+4k+4)*(2*2^(k+2)) /((2^(k+2) * ( k^2+6k+9))      | kürzen

= lim  (k^2+4k+4)*(2*)) /((( k^2+6k+9))      | oben und unten durch k^2

= lim (( 1 + 4/k + 4/k^2)*2)/ ( 1 + 6/k + 9/k^2)       | Grenzübergang

= (( 1+0+0)*2)/(1+0+0)         = 2*1/1 = 2 

Beantwortet 6 Jun 2016 von Lu Experte C

Wie genau kommt man darauf den Bruch mit K2 zuerweitern?

Erweitern mit " 1/k^2 "  ist ein Trick, den man in der Regeln behandelt, wenn man Grenzwerte von Bruchtermen zu berechnen lernt. 

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