Anfangswertaufgabe lösen, lineare DGL erster Ordnung

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Hallo, ich bräuchte Hilfe beim Lösen der Aufgabe. Vielen Dank schonmal für jeden Tipp. Bild Mathematik

Gefragt 14 Jun 2016 von mathenull16

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Hallo,

y'=-2y/x+1/x=(-2y+1)/x

 Benutze den gegebenen Tipp: x=e^t --> w(t)=y(e^t) --> w'(t)=e^t*y'(e^t) ->y'(e^t)=w'(t)/e^t

w'(t)/e^t=(-2w(t)+1)/e^t

w'(t)=-2w(t)+1

w'(t)+2w(t)=1

Lösung: 

w(t)=c1*e^(-2t)+1/2=c1*x^-2+1/2=y(x)

Beantwortet 14 Jun 2016 von Gast jc2144 Experte XI

Wie kommt man auf deine angegebe Lösung ? 

Die homogene Gleichung wäre w'(t)+2w(t)=0

Das kann man mithilfe von Trennung der Variablen lösen. 

w'(t)=-2w(t)

dw/dt=-2w(t)

dw/w=-2*dt Integrieren

ln(w)=-2t+C

wh(t)=e^(-2t+C)=c1*e^(-2t), c1∈ℝ

Die partikuläre Lösung kann durch Ansatz wp(t)=a gelöst werden, beziehungsweise man sieht auch leicht das  wp(t)=1/2 die DGL löst.

-_> w(t)=wh(t)+wp(t)=c1*e^(-2t)+1/2

Danach wurde zurücksubstituiert  x=e^t.   (e^(-2t)=e^([t]^-2)=x^(-2))

Danke, ich verstehe den Teil hier nicht : wp(t) = a? Was für ein Ansatz ist es?

Für die partikuläre Lösung wählt man als Ansatz hier eine Potenzfunktion 0.ten Grades (also eine Konstante a), weil die Störfunktion g(t)=1 eine Konstante ist. 

Ansatz : wp(t)=a --> w'p(t)=0 einsetzen in die DGL:

 w'(t)+2w(t)=0+2*a=1 --> a=1/2 --> wp(t)=1/2

Ist das die Inhomogene Gleichung ?

Vielen vielen dank, für deine hilfe ! 

Lautet die Lösung mit Anfangswertaufgabe : 

Y= x^-2 * 1/2 +1/2 ? 

Lautet die Lösung mit Anfangswertaufgabe : 

Y= x^-2 * 1/2 +1/2 ? Für y(1) = 1

Ja, das stimmt so.

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Beantwortet 14 Jun 2016 von Grosserloewe Experte XLI

Vielen Dank für die Antwort! Ich hatte bisher nicht gewusst, dass man auch +ln(c) schreiben kann, statt einfach +c nach dem Integrieren. Ist das ohne weiteres möglich?

Hallo,

Wenn schon "ln"  als Lösung steht kann man ohne Probleme die Konstante auch mit ln ansetzen. man muß es aber nicht.

Ein anderes Problem?

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