Was ist ein Rechengesetz?

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Was ist ein Rechengesetz?

Kann mir das jemand bitte per Definition geben und dann noch "mit einfachen Worten" erklären? Danke!!!
Gefragt 21 Okt 2012 von Gast hj2333

2 Antworten

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Ein Rechengesetz ist eine Regel, die angibt, wie man gewisse mathematische Operationen äquivalent umformen darf.

Das heißt, was du mit einem Term machen darfst, ohne seinen Wert zu verändern.

Welche Rechengesetze man verwenden darf hängt immer von der Operation ab. Operationen sind z.B. Addieren, Subtrahieren aber auch Potenzieren, Ableiten und so weiter.

Allgemein sind Operationen Abbildungen von Mengen in sich selbst.

 

Sehr bekannte und häufig verwendete Rechenregeln sind:

1. Kommutativgesetz: Eine mathematische Operation "o" heißt kommutativ, wenn gilt:
a o b = b o a

Beispiele dafür sind die Addition und die Multiplikation. Für die Subtraktion gilt das nicht, denn

a - b ≠ b-a

2. Assoziativgesetz: Eine mathematische Operation "o" heißt assoziativ, wenn gilt:
(a o b) o c = a o (b o c)

Man schreibt dann häufig auch einfach a o b o c, wenn dieser Ausdruck eindeutig ist.

Beispiele sind wieder Addition und Multiplikation aber zum Beispiel auch die Matrizenmultiplikation, die nicht kommutativ ist.

3. Distributivgesetz: Zwei mathematische Operationen "o" und "x" heißen distributiv, wenn gilt:

a x (b o c) = (a x b) o (a x c)

Das ist zum Beispiel richtig, wenn x die Multiplikation und o die Addition ist, aber nicht umgekehrt!

Beantwortet 21 Okt 2012 von Julian Mi Experte X
Wie ist das mit einer der wichtigsten Regel:

Punktrechnung geht vor Strichrechnung.

Ist das auch eine Regel oder nur eine definierte Rangfolge bei einer Termberechnung? Aber auch das wäre ja eine Regel.
Punkt- vor Strichrechnung ist eigentlich keine Regel, sondern eine Vereinbarung.

Der folgende Term ist nämlich, wenn man ganz streng ist, überhaupt nicht wohldefiniert:
 
a+b*c

Nur wenn man Klammern setzt, erhält der Term einen Inhalt, es gibt nämlich zwei Möglichkeiten:

(a+b)*c und a+(b*c)

Es ist aber Konvention bei der rechten Variante die Klammern wegzulassen und dasselbe zu meinen.

Selbstverständlich ist das eigentlich nicht. Es würde die anderen Regeln nicht beinträchtigen, wenn man die linke Variante als "richtige" wählen würde.
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So einfach ist diese Frage nicht zu beantworten, dazu müsste man eigentlich in die Geschichte der Mahematik eindringen.

Man könnte sagen, dass  man ursprünglich  Dinge in Ordnung  durch zählen , messen usw. bringen wollte, dadurch sind besonders kluge Köpfe auf Regelmessigkeiten gestoßen und haben diese in den was wir heute als Rechengesetze bezeichen, zusammen gefasst .

Zum Beispiel :Kommutativgesetz (Austauschbarkeit), Assoziativgesetz(verbindungsgesetz),Distributivgesetz(Verteilungsgesetz)

Man fand noch einige wichtige anderen Gesetze, die für unsere Zahlenräume gelten, so das vorhanden sein eines neutralen Elementes ( wirde genutzt bei der Quadratischen Ergänzung), oder des inversen Element  und des absorbierenden Elements.

Das funktioniert aber auch nur dann wenn man die elamentaren Anwendung der Punkt vor Strichregel benutzt, in den Zahlenräumen die wir Allgemeinen in der Schulmathematik gebrauchen.

Man könnte diese als etwas feststehendes betrachten ( Axiom),.(Sieh auch oben Regelmäßigkeiten im Sortieren von Dingen,, Einführung des Zahlbegriffs zum vereinfachen  des Zählen , Bündels u.s.w.)

( Beim Bündel handel es sich schon um eine Form de smultiplizierens, Bündeln in Fünferhaufen , oder in Fünferstrichlisten, unsere Hand hat  5 Finger)
Beantwortet 22 Okt 2012 von Akelei Experte XIX

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