Taylorpolynom Restglied Umgebung

Question

meine Aufgabe ist: Drittes Taylorpolynom von ln(x) im Entwicklungspunkt 1 bestimmen und eine Umgebung U von 1 so , dass

  

gilt.



Nun habe ich gerechnet und komme auf eine Umgebung U

Nun meine Frage: muss ich dass vom Entwicklungspunkt dazu rechnen also dann 

 weil ja auch der Konvergenzradius bei [0,2] liegt ?

Und ist es insgesamt korrekt wenn nicht was ist alles falsch? Danke für die hilfe!

Answer 1

Ich komme mit deinem Ansatz   xsi < 0,5 * 10^-4 nicht ganz klar.

Es muss doch der Rest kleiner als 0,5 * 10^-4 sein.

also  (x-1)^4 / ( 4 xsi^4 ) < 0,5 * 10^-4

und damit  (x-1) / xsi   <   2^0,25 * 10^-1  ≈  0,1189

Und wenn r der Radius der ges. Umgebung ist,

dann ist  x-1 < r   und   xsi > 1-r  also

(x-1) / xsi   <  r / xsi   <  r / ( 1-r )  und damit das =  0,1189 ist,

muss r = 0,1063   sein.

Also ist die ges. Umgebung  ]  1 - 0,1063   ;  1 + 0,1063  [

und beim Rand der Umgebung bekomme ich für

| P_3,1(x) - ln (x) |    mit x=0,9  einen Fehler von 0,000027

und bei x=1,1  einen Fehler von 0,000023

Könnte also stimmen.

Comments

ich dachte dass ich für ξ die Fehlerwahrscheinlichkeit einsetzen könnte, ich dachte die soll dann 0,5 * 10 ^-4 sein ? aber das ganze Restglied soll wohl kleiner sein welchen sinn macht das das habe ich nicht verstanden :(

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Ich habe noch einen Lösungsansatz wo nach der lagrange Form das n bestimmt wird. Weisst du vielleicht was ich meine? Jedoch habe ich da das intervall schon gegeben und ich weiss nicht was ich umstellen müsste um dann zu dem intervall zu kommen

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ich habe nochmal etwas gerechnet nur dass dort kein r vorkommt und ich ξ auf 1 festgelegt habe. würde ich dann noch irgendwie zu deiner lösung kommen? ich habe dort nur den wert 0,1189 wie bei dir raus aber anders gerechnet:

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Was ist denn, wenn der Betrag von xsi kleiner 1 ist ?

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Finde deine Lösung sehr überzeugend aber wollte es nicht so direkt übernehmen. Aber wahrscheinlich ist das gar nicht möglich oder?

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Ich werde noch schreiben x-1 < 1 < ξ +1

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Aber das xsi muss doch aus der r-Umgebung von 1 sein.

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Sorry verschrieben ich meinte doch x-r < 1 < ξ + r